Primitives et équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Exercice 4

4 min

Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=105y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=105

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{105x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{105x}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

\bf\color{red}\underline{Attention}\;:

\color{black}Ici\;2y'=32\;n'est\;pas\;de\;la\;forme\;y'=ay.

Nous allons donc diviser l'ensemble par

2

\frac{2y'}{\color{red}2}=\frac{32y}{\color{red}2}

y'=16y

On identifie ici que :

a=16

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{16x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{16x}

où

k

est une constante réelle.