Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Primitives et équations différentielles - Option mathématiques complémentaires

Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-21y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-21

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-21x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-21x}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : $7y'-15y=0$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

7y'-15y=0

équivaut successivement à :

7y'=15y

y'=\frac{15}{7}y

On identifie ici que :

a=\frac{15}{7}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{\frac{15}{7}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{\frac{15}{7}x}

où

k

est une constante réelle.

Question 3

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=18y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=18

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{18x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{18x}

où

k

est une constante réelle.

Question 4

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-35y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-35

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-35x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-35x}

où

k

est une constante réelle.

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ayy′=ay - Exercice 3

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−21yy'=-21yy′=−21y

Résoudre l'équation différentielle suivante : 7y′−15y=07y'-15y=07y′−15y=0

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=18yy'=18yy′=18y

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−35yy'=-35yy′=−35y

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Exercice 3

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-21y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $7y'-15y=0$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=18y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-35y$