Primitives et équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ay - Exercice 2

4 min
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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=2yy'=2y

Correction

Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=2a=2 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke2xf\left(x\right)=ke^{2x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke2xf\left(x\right)=ke^{2x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : 27y′+3y=0\frac{2}{7}y'+3y=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ayy'=ay. Ainsi:
    27y′+3y=0\frac{2}{7}y'+3y=0 équivaut successivement à :
    27y′=−3y\frac{2}{7} y'=-3y
    y′=−3y(27)y'=\frac{-3y}{\left(\frac{2}{7} \right)}
    y′=(−3y)×(72)y'=\left(-3y\right)\times \left(\frac{7}{2} \right)
    y′=−212yy'=-\frac{21}{2} y
    On identifie ici que : a=−212a=-\frac{21}{2} .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−212xf\left(x\right)=ke^{-\frac{21}{2}x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−212xf\left(x\right)=ke^{-\frac{21}{2}x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−13yy'=-13y

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=−13a=-13 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−13xf\left(x\right)=ke^{-13x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−13xf\left(x\right)=ke^{-13x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−3yy'=-3y

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=−3a=-3 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−3xf\left(x\right)=ke^{-3x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−3xf\left(x\right)=ke^{-3x}
    où kk est une constante réelle.