Primitives et équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y=ayy'=ay avec une condition - Exercice 3

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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y=4yy'=-4y tel que f(4)=7f\left(4\right)=7

Correction
Soit l’équation différentielle y=ayy'=ayaa est un réel avec a0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} kk est une constante réelle.
  • On identifie ici que : a=4a=-4 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke4xf\left(x\right)=ke^{-4x}kk est une constante réelle.
    Or : f(4)=7f\left(4\right)=7 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke4×(4)=7ke^{-4\times (4)}=7 équivaut successivement à :
    ke16=7ke^{-16}=7
    k=7e16k=\frac{7}{e^{-16}}
    • ea=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=7e16k=7e^{16}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y=4yy'=-4y tel que f(4)=7f\left(4\right)=7 est alors :
    f(x)=7e16×e4xf\left(x\right)=7e^{16}\times e^{-4x}
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    Ainsi :
    f(x)=7e4x+16f\left(x\right)=7e^{-4x+16}

    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y=7yy'=7y tel que f(0)=7f\left(0\right)=7

    Correction
    Soit l’équation différentielle y=ayy'=ayaa est un réel avec a0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} kk est une constante réelle.
  • On identifie ici que : a=7a=7 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke7xf\left(x\right)=ke^{7x}kk est une constante réelle.
    Or : f(0)=7f\left(0\right)=7 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke2×0=7ke^{2\times 0}=7 équivaut successivement à :
    ke0=7ke^{0}=7 . Nous savons que e0=1e^{0}=1 .
    k=7k=7
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y=7yy'=7y tel que f(0)=7f\left(0\right)=7 est alors :
    f(x)=7e7xf\left(x\right)=7e^{7x}

    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y=22yy'=22y tel que f(1)=1f\left(-1\right)=1

    Correction
    Soit l’équation différentielle y=ayy'=ayaa est un réel avec a0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} kk est une constante réelle.
  • On identifie ici que : a=22a=22 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke22xf\left(x\right)=ke^{22x}kk est une constante réelle.
    Or : f(1)=1f\left(-1\right)=1 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke22×(1)=1ke^{22\times (-1)}=1 équivaut successivement à :
    ke22=1ke^{-22}=1
    k=1e22k=\frac{1}{e^{-22}}
    • ea=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=1e22k=1e^{22}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y=22yy'=22y tel que f(1)=1f\left(-1\right)=1 est alors :
    f(x)=1e22×e22xf\left(x\right)=1e^{22}\times e^{22x}
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    Ainsi :
    f(x)=1e22x+22f\left(x\right)=1e^{22x+22}