Primitives et équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ay avec une condition - Exercice 1

6 min
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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=3yy'=3y tel que f(0)=7f\left(0\right)=7

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=3a=3 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke3xf\left(x\right)=ke^{3x} où kk est une constante réelle.
    Or : f(0)=7f\left(0\right)=7 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke3×0=7ke^{3\times 0}=7 équivaut successivement à :
    ke0=7ke^{0}=7 . Nous savons que e0=1e^{0}=1 .
    k=7k=7
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=3yy'=3y tel que f(0)=7f\left(0\right)=7 est alors :
    f(x)=7e3xf\left(x\right)=7e^{3x}

    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=5yy'=5y tel que f(2)=1f\left(2\right)=1

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=5a=5 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke5xf\left(x\right)=ke^{5x} où kk est une constante réelle.
    Or : f(2)=1f\left(2\right)=1 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke5×2=1ke^{5\times 2}=1 équivaut successivement à :
    ke10=1ke^{10}=1
    k=1e10k=\frac{1}{e^{10}}
    • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=e−10k=e^{-10}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=5yy'=5y tel que f(2)=1f\left(2\right)=1 est alors :
    f(x)=e−10×e5xf\left(x\right)=e^{-10}\times e^{5x}
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    Ainsi :
    f(x)=e5x−10f\left(x\right)=e^{5x-10}

    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−9yy'=-9y tel que f(4)=−7f\left(4\right)=-7

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=−9a=-9 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−9xf\left(x\right)=ke^{-9x} où kk est une constante réelle.
    Or : f(4)=−7f\left(4\right)=-7 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke−9×4=−7ke^{-9\times 4}=-7 équivaut successivement à :
    ke−36=−7ke^{-36}=-7
    k=−7e−36k=\frac{-7}{e^{-36}}
    • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=−7e36k=-7e^{36}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=−9yy'=-9y tel que f(4)=−7f\left(4\right)=-7 est alors :
    f(x)=−7e36×e−9xf\left(x\right)=-7e^{36}\times e^{-9x}
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    Ainsi :
    f(x)=−7e−9x+36f\left(x\right)=-7e^{-9x+36}
    Question 4

    Résoudre l'équation différentielle suivante : 3y′−2y=03y'-2y=0 tel que f(1)=e43f\left(1\right)=e^{\frac{4}{3}}

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ayy'=ay. Ainsi :
    3y′−2y=03y'-2y=0 équivaut successivement à :
    3y′=2y3y'=2y
    y′=23yy'=\frac{2}{3}y
    On identifie ici que : a=23a=\frac{2}{3} .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke23xf\left(x\right)=ke^{\frac{2}{3}x} où kk est une constante réelle.
    Or : f(1)=e43f\left(1\right)=e^{\frac{4}{3}} ce qui nous permet d'écrire que :
    ke23×1=e43ke^{\frac{2}{3}\times 1}=e^{\frac{4}{3}} équivaut successivement à :
    ke23=e43ke^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{4}{3}}
    k=e43e23k=\frac{e^{\frac{4}{3} } }{e^{\frac{2}{3} } }
    k=e43−23k=e^{\frac{4}{3} -\frac{2}{3} }
    k=e23k=e^{\frac{2}{3} }
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle 3y′−2y=03y'-2y=0 tel que f(1)=e43f\left(1\right)=e^{\frac{4}{3}}est alors :
    f(x)=e23e23xf\left(x\right)=e^{\frac{2}{3} }e^{\frac{2}{3}x}

    Nous pouvons simplifier l'expression de ff à l'aide des propriétés algébriques de la fonction exponentielle. En effet :
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    D'où :
    f(x)=e23x+23f\left(x\right)=e^{\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}}

    Question 5

    Résoudre l'équation différentielle suivante : 4y′+5y=04y'+5y=0 tel que f(0)=−7f\left(0\right)=-7

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ayy'=ay. Ainsi :
    4y′+5y=04y'+5y=0 équivaut successivement à :
    4y′=−5y4y'=-5y
    y′=−54yy'=\frac{-5}{4}y
    y′=−54yy'=-\frac{5}{4}y
    On identifie ici que : a=−54a=-\frac{5}{4} .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−54xf\left(x\right)=ke^{-\frac{5}{4}x} où kk est une constante réelle.
    Or : f(0)=−7f\left(0\right)=-7 ce qui nous permet d'écrire que :
    ke−54×0=−7ke^{-\frac{5}{4}\times 0}=-7 équivaut successivement à :
    ke0=−7ke^{0}=-7 . Nous savons que e0=1e^{0}=1 .
    k=−7k=-7
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle 4y′+5y=04y'+5y=0 tel que f(0)=−7f\left(0\right)=-7 est alors :
    f(x)=−7e−54xf\left(x\right)=-7e^{-\frac{5}{4}x}