Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Primitives et équations différentielles - Option mathématiques complémentaires

Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=8y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=8

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{8x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{8x}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-5y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-5

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-5x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-5x}

où

k

est une constante réelle.

Question 3

Résoudre l'équation différentielle suivante : $4y'-3y=0$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

4y'-3y=0

équivaut successivement à :

4y'=3y

y'=\frac{3}{4}y

On identifie ici que :

a=\frac{3}{4}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{\frac{3}{4}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{\frac{3}{4}x}

où

k

est une constante réelle.

Question 4

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=6y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=6

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{6x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{6x}

où

k

est une constante réelle.

Question 5

Résoudre l'équation différentielle suivante : $-2y'-11y=0$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

-2y'-11y=0

équivaut successivement à :

-2y'=11y

y'=\frac{11}{-2}y

y'=-\frac{11}{2}y

On identifie ici que :

a=-\frac{11}{2}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{11}{2}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{11}{2}x}

où

k

est une constante réelle.

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ayy′=ay - Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=8yy'=8yy′=8y

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−5yy'=-5yy′=−5y

Résoudre l'équation différentielle suivante : 4y′−3y=04y'-3y=04y′−3y=0

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=6yy'=6yy′=6y

Résoudre l'équation différentielle suivante : −2y′−11y=0-2y'-11y=0−2y′−11y=0

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=8y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-5y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $4y'-3y=0$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=6y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $-2y'-11y=0$