Primitives et équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ay - Exercice 1

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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=8yy'=8y

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=8a=8 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke8xf\left(x\right)=ke^{8x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke8xf\left(x\right)=ke^{8x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−5yy'=-5y

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=−5a=-5 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−5xf\left(x\right)=ke^{-5x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−5xf\left(x\right)=ke^{-5x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : 4y′−3y=04y'-3y=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ayy'=ay. Ainsi:
    4y′−3y=04y'-3y=0 équivaut successivement à :
    4y′=3y4y'=3y
    y′=34yy'=\frac{3}{4}y
    On identifie ici que : a=34a=\frac{3}{4} .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke34xf\left(x\right)=ke^{\frac{3}{4}x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke34xf\left(x\right)=ke^{\frac{3}{4}x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=6yy'=6y

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=6a=6 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke6xf\left(x\right)=ke^{6x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke6xf\left(x\right)=ke^{6x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 5

    Résoudre l'équation différentielle suivante : −2y′−11y=0-2y'-11y=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ayy'=ay. Ainsi:
    −2y′−11y=0-2y'-11y=0 équivaut successivement à :
    −2y′=11y-2y'=11y
    y′=11−2yy'=\frac{11}{-2}y
    y′=−112yy'=-\frac{11}{2}y
    On identifie ici que : a=−112a=-\frac{11}{2} .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−112xf\left(x\right)=ke^{-\frac{11}{2}x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−112xf\left(x\right)=ke^{-\frac{11}{2}x}
    où kk est une constante réelle.