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Primitives et équations différentielles
Déterminer les primitives des fonctions usuelles - Exercice 4
5 min
20
On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle
I
I
I
(que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
Question 1
g
(
x
)
=
5
e
6
x
+
2
g\left(x\right)=5e^{6x+2}
g
(
x
)
=
5
e
6
x
+
2
Correction
Une primitive de
nombre
×
e
a
x
+
b
\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
nombre
×
e
a
x
+
b
est
nombre
a
×
e
a
x
+
b
\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
a
nombre
×
e
a
x
+
b
Soit
g
(
x
)
=
5
e
6
x
+
2
g\left(x\right)=5e^{{\color{red}{6}}x+{\color{blue}{2}}}
g
(
x
)
=
5
e
6
x
+
2
ainsi :
G
(
x
)
=
5
6
e
6
x
+
2
+
k
G\left(x\right)=\frac{5}{{\color{red}{{\color{red}{6}}}}} e^{{\color{red}{6}}x+{\color{blue}{2}}} +k
G
(
x
)
=
6
5
e
6
x
+
2
+
k
où
k
k
k
est une constante réelle.
Question 2
h
(
x
)
=
7
e
2
x
−
1
h\left(x\right)=7e^{2x-1}
h
(
x
)
=
7
e
2
x
−
1
Correction
Une primitive de
nombre
×
e
a
x
+
b
\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
nombre
×
e
a
x
+
b
est
nombre
a
×
e
a
x
+
b
\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
a
nombre
×
e
a
x
+
b
Soit
h
(
x
)
=
7
e
2
x
−
1
h\left(x\right)=7e^{{\color{red}{2}}x-{\color{blue}{1}}}
h
(
x
)
=
7
e
2
x
−
1
ainsi :
H
(
x
)
=
7
2
e
2
x
−
1
+
k
H\left(x\right)=\frac{7}{{\color{red}{{\color{red}{2}}}}} e^{{\color{red}{2}}x-{\color{blue}{1}}} +k
H
(
x
)
=
2
7
e
2
x
−
1
+
k
où
k
k
k
est une constante réelle.
Question 3
b
(
x
)
=
8
e
−
x
+
6
b\left(x\right)=8e^{-x+6}
b
(
x
)
=
8
e
−
x
+
6
Correction
Une primitive de
nombre
×
e
a
x
+
b
\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
nombre
×
e
a
x
+
b
est
nombre
a
×
e
a
x
+
b
\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
a
nombre
×
e
a
x
+
b
Soit
b
(
x
)
=
8
e
−
1
x
+
6
b\left(x\right)=8e^{{\color{red}{-1}}x+{\color{blue}{6}}}
b
(
x
)
=
8
e
−
1
x
+
6
ainsi :
b
(
x
)
=
8
−
1
e
−
1
x
+
6
b\left(x\right)=\frac{8}{-1}e^{{\color{red}{-1}}x+{\color{blue}{6}}}
b
(
x
)
=
−
1
8
e
−
1
x
+
6
B
(
x
)
=
−
8
e
−
x
+
6
+
k
B\left(x\right)=-8e^{{\color{red}{-}}x+{\color{blue}{6}}} +k
B
(
x
)
=
−
8
e
−
x
+
6
+
k
où
k
k
k
est une constante réelle.
Question 4
b
(
x
)
=
7
e
−
4
x
−
3
b\left(x\right)=7e^{-4x-3}
b
(
x
)
=
7
e
−
4
x
−
3
Correction
Une primitive de
nombre
×
e
a
x
+
b
\text{nombre}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
nombre
×
e
a
x
+
b
est
nombre
a
×
e
a
x
+
b
\frac{\text{nombre}}{{\color{red}{a}}}\times e^{{\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}}
a
nombre
×
e
a
x
+
b
Soit
b
(
x
)
=
7
e
−
4
x
−
3
b\left(x\right)=7e^{{\color{red}{-4}}x-{\color{blue}{3}}}
b
(
x
)
=
7
e
−
4
x
−
3
ainsi :
B
(
x
)
=
7
−
4
e
−
4
x
−
3
+
k
B\left(x\right)=\frac{7}{{\color{red}{{\color{red}{-4}}}}} e^{{\color{red}{-4}}x-{\color{blue}{3}}} +k
B
(
x
)
=
−
4
7
e
−
4
x
−
3
+
k
B
(
x
)
=
−
7
4
e
−
4
x
−
3
+
k
B\left(x\right)=-\frac{7}{{\color{red}{{\color{red}{4}}}}} e^{{\color{red}{-4}}x-{\color{blue}{3}}} +k
B
(
x
)
=
−
4
7
e
−
4
x
−
3
+
k
où
k
k
k
est une constante réelle.