Déterminer les primitives des fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto u'\left(x\right)u \left(x\right)}$$ - Exercice 1

Soit $$x\in \mathbb{R}$$
La fonction $$f$$ est de la forme $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=e^x+4}}$$ .
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=e^x}}$$ .
$$f\left(x\right)=e^x\left(e^x+4\right)$$ s'écrit alors :
$$f\left(x\right)={\color{blue}{e^x}}\left({\color{red}{e^x+4}}\right)$$ c'est à dire $$f\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}$$
Or une primitive de primitive de $${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}$$ est de la forme $$\frac{1}{2}{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{2}}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{2}}}$$
Ainsi :