Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  

Déterminer les primitives des fonctions de la forme : xu(x)u(x)\red{x\mapsto u'\left(x\right)u \left(x\right)} - Exercice 1

3 min
15
Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=ex(ex+4)f\left(x\right)=e^x\left(e^x+4\right)

Correction
  • Une primitive de primitive de uu{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}} est de la forme 12u2\frac{1}{2}{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{2}}}
  • Une primitive de primitive de 2uu2{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}} est de la forme u2{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{2}}}
  • Soit xRx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme uu{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}} avec u(x)=ex+4{\color{red}{u\left(x\right)=e^x+4}} .
    De plus, u(x)=ex{\color{blue}{u'\left(x\right)=e^x}} .
    f(x)=ex(ex+4)f\left(x\right)=e^x\left(e^x+4\right) s'écrit alors :
    f(x)=ex(ex+4)f\left(x\right)={\color{blue}{e^x}}\left({\color{red}{e^x+4}}\right) c'est à dire f(x)=uuf\left(x\right)={\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}
    Or une primitive de primitive de uu{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}} est de la forme 12u2\frac{1}{2}{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{2}}}
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=12u2F\left(x\right)=\frac{1}{2}{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{2}}}
    Ainsi :
    F(x)=12(ex+4)F\left(x\right)=\frac{1}{2} \left(e^x+4\right)