Déterminer les primitives des fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}}$$ - Exercice 1

Soit $$x\in \left]-3;+\infty \right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=2x+6}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=2}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2}}}{{\color{red}{2x+6}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-3;+\infty \right[$$ est :
$$F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$x\in \left]-\infty ;\frac{3}{5}\right[$$
La fonction $$f$$ est de la forme $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ avec $${\color{red}{u\left(x\right)=3-5x}}$$.
De plus, $${\color{blue}{u'\left(x\right)=-5}}$$ .
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{-5}}}{{\color{red}{3-5x}}}$$ s'écrit alors
$$f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'\left(x\right)}}}{{\color{red}{u\left(x\right)}}}$$
Or une primitive de $$\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$$ est de la forme $$\ln\left({\color{red}{u}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\left]-\infty ;\frac{3}{5}\right[$$ est :
$$F\left(x\right)=\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)$$
Ainsi :