Déterminer les primitives des fonctions de la forme : x↦u(x)u′(x) - Exercice 1
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Question 1
Déterminer une primitive sur ]−3;+∞[ de la fonction f continue sur ]−3;+∞[ et définie par f(x)=2x+62
Correction
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u)
Soit x∈]−3;+∞[ La fonction f est de la forme uu′ avec u(x)=2x+6. De plus, u′(x)=2 . f(x)=2x+62 s'écrit alors f(x)=u(x)u′(x) Or une primitive de uu′ est de la forme ln(u) Il en résulte donc qu'une primitive de f sur ]−3;+∞[ est : F(x)=ln(u(x)) Ainsi :
F(x)=ln(2x+6)
Question 2
Déterminer une primitive sur ]−∞;53[ de la fonction f continue sur ]−∞;53[ et définie par f(x)=3−5x−5
Correction
Une primitive de uu′ est de la forme ln(u)
Soit x∈]−∞;53[ La fonction f est de la forme uu′ avec u(x)=3−5x. De plus, u′(x)=−5 . f(x)=3−5x−5 s'écrit alors f(x)=u(x)u′(x) Or une primitive de uu′ est de la forme ln(u) Il en résulte donc qu'une primitive de f sur ]−∞;53[ est : F(x)=ln(u(x)) Ainsi :
F(x)=ln(3−5x)
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