Primitives et équations différentielles

Ce qu'il faut savoir sur les équations différentielles y=ay+by'=ay+b

Les équations différentielles

Définition

Définition 1
  • Une eˊquation diffeˊrentielle\red{\text{équation différentielle}} est une équation où l'inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées de cette fonction.

Equation différentielle y=ay+b\blue{y'=ay+b}

Définition 2
    Soit l’équation différentielle y=ay+by'=ay+baa et bb sont deux réels, avec a0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxbaf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Résoudre l'équation différentielle suivante : y=4y1y'=4y-1
On identifie ici que : a=4a=4 et b=1b=-1.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke4x(1)4f\left(x\right)=ke^{4x} -\frac{\left(-1\right)}{4}kk est une constante réelle.
Finalement :
f(x)=ke4x+14f\left(x\right)=ke^{4x} +\frac{1}{4}
kk est une constante réelle.

Equation différentielle y=ay+b\blue{y'=ay+b} avec condition initiale

Définition 3
    Soit l’équation différentielle y=ay+by'=ay+baa et bb sont deux réels, avec a0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxbaf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}kk est une constante réelle.
  • Quels que soient les réels x0x_{0} et y0y_{0}, l'équation y=ay+by'=ay+b admet une unique solution ff prenant en x0x_{0} la valeur y0y_{0} telle que f(x0)=y0f\left(x_{0}\right)=y_{0}.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Résoudre l'équation différentielle suivante : y=2y+4y'=2y+4 tel que f(0)=10f\left(0\right)=10 .
On identifie ici que : a=2a=2 et b=4b=4.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke2x42f\left(x\right)=ke^{2x} -\frac{4}{2}kk est une constante réelle.
Finalement : f(x)=ke2x2f\left(x\right)=ke^{2x}-2kk est une constante réelle
Or on sait que f(0)=10f\left(0\right)=10 , il vient alors que :
f(0)=10f\left(0\right)=10 équivaut successivement à :
ke2×02=10ke^{2\times 0}-2=10
ke02=10ke^{0}-2=10 or e0=1e^{0}=1
k2=10k-2=10
k=10+2k=10+2
D'où : k=12k=12
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y=2y+4y'=2y+4 tel que f(0)=10f\left(0\right)=10 est alors :
f(x)=12e2x2f\left(x\right)=12e^{2x}-2
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