Ce qu'il faut savoir sur les équations différentielles $$y'=ay+b$$

$$\pink{\text{Exemple :}}$$ Résoudre l'équation différentielle suivante : $$y'=4y-1$$
On identifie ici que : $$a=4$$ et $$b=-1$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{4x} -\frac{\left(-1\right)}{4}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$ Résoudre l'équation différentielle suivante : $$y'=2y+4$$ tel que $$f\left(0\right)=10$$ .
On identifie ici que : $$a=2$$ et $$b=4$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{2x} -\frac{4}{2}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{2x}-2$$ où $$k$$ est une constante réelle
Or on sait que $$f\left(0\right)=10$$ , il vient alors que :
$$f\left(0\right)=10$$ équivaut successivement à :
$$ke^{2\times 0}-2=10$$
$$ke^{0}-2=10$$ or $$e^{0}=1$$
$$k-2=10$$
$$k=10+2$$
D'où : $$k=12$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=2y+4$$ tel que $$f\left(0\right)=10$$ est alors :