Primitives et équations différentielles

Ce qu'il faut savoir sur les équations différentielles y=ayy'=ay

Les équations différentielles

Définition

Définition 1
  • Une eˊquation diffeˊrentielle\red{\text{équation différentielle}} est une équation où l'inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées de cette fonction.

Equation différentielle y=ay\blue{y'=ay}

Définition 2
    Soit aa un réel non nul.
    Soit l’équation différentielle y=ayy'=ayaa est un réel avec a0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} kk est une constante réelle.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Résoudre l'équation différentielle suivante : y=2yy'=2y
On identifie ici que : a=2a=2 .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke2xf\left(x\right)=ke^{2x}kk est une constante réelle.
Finalement :
f(x)=ke2xf\left(x\right)=ke^{2x}
kk est une constante réelle.

Equation différentielle y=ay\blue{y'=ay} avec condition initiale

Définition 3
    Soit aa un réel non nul.
    Soit l’équation différentielle y=ayy'=ayaa est un réel avec a0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} kk est une constante réelle.
  • Quels que soient les réels x0x_{0} et y0y_{0}, l'équation y=ayy'=ay admet une unique solution ff prenant en x0x_{0} la valeur y0y_{0} telle que f(x0)=y0f\left(x_{0}\right)=y_{0}.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}} Résoudre l'équation différentielle suivante : y=4yy'=4y tel que f(0)=2f\left(0\right)=2 .
On identifie ici que : a=4a=4 .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke4xf\left(x\right)=ke^{4x}kk est une constante réelle.
Or : f(0)=2f\left(0\right)=2 ce qui nous permet d'écrire que :
ke4×0=2ke^{4\times 0}=2 équivaut successivement à :
ke0=2ke^{0}=2 . Nous savons que e0=1e^{0}=1 .
k=2k=2
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y=4yy'=4y tel que f(0)=2f\left(0\right)=2 est alors :
f(x)=2e4xf\left(x\right)=2e^{4x}
Connecte-toi pour accéder à tes fiches !

Pour lire cette fiche, connecte-toi à ton compte.
Si tu n'en as pas, inscris-toi et essaie gratuitement pendant 24h.