Utiliser le non vieillissement ou l'absence de mémoire de la loi géométrique - Exercice 1

$$\purple{\text{Rédaction type :}}$$
La variable aléatoire $$X$$ compte le nombre de tirages nécessaires pour obtenir un succès $$\red{\text{(tirer un PIQUE)}}$$ lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est $$p=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$$ .
$$X$$ suit alors la loi géométrique de paramètre $$p=\frac{1}{4}$$ .
On écrit également que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(\frac{1}{4}\right)$$

Il nous faut donc calculer : $$P_{X>6} \left(X>9\right)$$
D'après le rappel :
$$P_{X>6} \left(X>9\right)=P_{X>\color{blue}{6}} \left(X>\color{blue}{6}+\color{red}{3}\right)=P\left(X>\color{red}{3}\right)$$
Ainsi :
$$P_{X>6} \left(X>9\right)=P\left(X>3\right)$$
$$P\left(X>3\right)=\left(1-\frac{1}{4}\right)^{3}$$
$$P\left(X>3\right)\approx 0,422$$
Ainsi : arrondi à $$10^{-3}$$ près .
Adam ayant déjà tiré $$6$$ fois sans obtenir de PIQUE, la probabilité qu'il tire un PIQUE au moins au $$10$$^ème tirage est environ $$0,422$$ .