Lois de probabilités discrètes

Savoir calculer des probabilités avec la loi binomiale : Utilisation de la calculatrice\red{\text{Utilisation de la calculatrice}} - Exercice 2

3 min
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Tous les résultats de cet exercice devront être arrondis à 10−2{\color{red}{10^{-2}}} près.
Question 1
On considère la variable aléatoire XX qui suit la loi binomiale B(50;0,67)\mathscr{B}\left(50;0,67\right) . Calculer :

P(X>32)P\left(X> 32\right)

Correction
    Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp.
Pour tout entier kk tel que 0<k≤n0< k \le n, on a : P(X>k)=P(X≥k+1)P\left(X>k\right)=P\left(X\ge k+1\right)
Ainsi, d'après le rappel :
P(X>32)=P(X≥32+1)P\left(X>32\right)=P\left(X\ge 32+1\right)
P(X>32)=P(X≥33)P\left(X>32\right)=P\left(X\ge 33\right)
    Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp.
Pour tout entier kk tel que 0<k≤n0< k \le n, on a : P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P\left(X\ge k\right)=1-P\left(X\le k-1\right)
Ainsi, d'après le rappel :
P(X≥33)=1−P(X≤33−1)P\left(X\ge 33\right)=1-P\left(X\le 33-1\right)
P(X≥33)=1−P(X≤32)P\left(X\ge 33\right)=1-P\left(X\le 32\right)
Or : P(X≤32)≈0,38P\left(X\le 32\right)\approx 0,38
D'où : P(X≥33)≈1−0,38P\left(X\ge 33\right)\approx1-0,38
Ainsi :
P(X≥33)≈0,62P\left(X\ge 33\right)\approx 0,62

Finalement : P(X>32)≈0,62P\left(X> 32\right)\approx 0,62
Question 2

P(30<X<38)P\left(30<X<38\right)

Correction
P(30<X<38)=P(31≤X≤37)P\left(30<X<38\right)=P\left(31\le X \le37\right)
    Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp.
Pour tous entiers k1{\color{blue}{k_1}} et k2{\color{red}{k_2}} tels que 0<k1<k2≤n0< k_1<k_2 \le n , on a : P(k1≤X≤k2)=P(X≤k2)−P(X≤k1)P\left({\color{blue}{k_1}} \le X\le {\color{red}{k_2}} \right)=P\left(X\le {\color{red}{k_2}} \right)-P\left(X\le {\color{blue}{k_1}} \right)
Ainsi, d'après le rappel :
P(31≤X≤37)=P(X≤37)−P(X≤31)P\left({\color{blue}{31}} \le X\le {\color{red}{37}} \right)=P\left(X\le {\color{red}{37}} \right)-P\left(X\le {\color{blue}{31}} \right)
D'où : P(31≤X≤37)≈0,70P\left(31\le X \le37\right)\approx0,70
Enfin :
P(30<X<38)≈0,7P\left(30<X<38\right)\approx 0,7