Lois de probabilités discrètes

Savoir calculer des probabilités avec la loi binomiale : Utilisation de la calculatrice\red{\text{Utilisation de la calculatrice}} - Exercice 1

10 min
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Tous les résultats de cet exercice devront être arrondis à 10−2{\color{red}{10^{-2}}} près.
Question 1
Soit XX la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=25n=25 et p=0,4p=0,4. Calculer :

P(X≤8)P\left(X\le 8\right)

Correction
D'après la calculatrice, on a :
P(X≤8)≈0,27P\left(X\le 8\right)\approx 0,27
Question 2

P(X<10)P\left(X<10\right)

Correction
    Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp.
Pour tout entier kk tel que 0<k≤n0< k \le n, on a : P(X<k)=P(X≤k−1)P\left(X<k\right)=P\left(X\le k-1\right)
Ainsi, d'après le rappel :
P(X<10)=P(X≤10−1)P\left(X<10\right)=P\left(X\le 10-1\right)
P(X<10)=P(X≤9)P\left(X<10\right)=P\left(X\le 9\right)
Or : P(X≤9)≈0,42P\left(X\le 9\right)\approx 0,42
D'où :
P(X<10)≈0,42P\left(X< 10\right)\approx 0,42

Question 3

P(X≥14)P\left(X\ge 14\right)

Correction
    Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp.
Pour tout entier kk tel que 0<k≤n0< k \le n, on a : P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P\left(X\ge k\right)=1-P\left(X\le k-1\right)
Ainsi, d'après le rappel :
P(X≥14)=1−P(X≤14−1)P\left(X\ge 14\right)=1-P\left(X\le 14-1\right)
P(X≥14)=1−P(X≤13)P\left(X\ge 14\right)=1-P\left(X\le 13\right)
Or : P(X≤13)≈0,92P\left(X\le 13\right)\approx 0,92
D'où : P(X≥14)=1−0,92P\left(X\ge 14\right)=1-0,92
Ainsi :
P(X≥14)≈0,08P\left(X\ge 14\right)\approx 0,08

Question 4

P(10≤X≤14)P\left(10\le X\le 14\right)

Correction
    Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp.
Pour tous entiers k1{\color{blue}{k_1}} et k2{\color{red}{k_2}} tels que 0<k1<k2≤n0< k_1<k_2 \le n , on a : P(k1≤X≤k2)=P(X≤k2)−P(X≤k1)P\left({\color{blue}{k_1}} \le X\le {\color{red}{k_2}} \right)=P\left(X\le {\color{red}{k_2}} \right)-P\left(X\le {\color{blue}{k_1}} \right)
Ainsi, d'après le rappel :
P(10≤X≤14)=P(X≤14)−P(X≤10)P\left({\color{blue}{10}} \le X\le {\color{red}{14}} \right)=P\left(X\le {\color{red}{14}} \right)-P\left(X\le {\color{blue}{10}} \right)
Ainsi :
P(10≤X≤14)≈0,54P\left(10\le X\le 14\right)\approx 0,54

Question 5

P(X>11)P\left(X> 11\right)

Correction
    Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp.
Pour tout entier kk tel que 0<k≤n0< k \le n, on a : P(X>k)=P(X≥k+1)P\left(X>k\right)=P\left(X\ge k+1\right)
Ainsi, d'après le rappel :
P(X>11)=P(X≥11+1)P\left(X>11\right)=P\left(X\ge 11+1\right)
P(X>11)=P(X≥12)P\left(X>11\right)=P\left(X\ge 12\right)
    Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp.
Pour tout entier kk tel que 0<k≤n0< k \le n, on a : P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P\left(X\ge k\right)=1-P\left(X\le k-1\right)
Ainsi, d'après le rappel :
P(X≥12)=1−P(X≤12−1)P\left(X\ge 12\right)=1-P\left(X\le 12-1\right)
P(X≥12)=1−P(X≤11)P\left(X\ge 12\right)=1-P\left(X\le 11\right)
Or : P(X≤11)≈0,73P\left(X\le 11\right)\approx 0,73
D'où : P(X≥12)=1−0,73P\left(X\ge 12\right)=1-0,73
Ainsi :
P(X≥12)≈0,27P\left(X\ge 12\right)\approx 0,27

Finalement : P(X>11)≈0,27P\left(X> 11\right)\approx 0,27