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Savoir calculer des probabilités avec la loi binomiale en utilisant la formule P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k} - Exercice 1

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Tous les résultats de cet exercice devront être arrondis à 10−2{\color{red}{10^{-2}}} près.
Question 1
Soit XX la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=40n=40 et p=0,9p=0,9. Nous pouvons également écrire que XX suit la loi binomiale B(40;0,9)\mathscr{B}\left(40;0,9\right) . Calculer :

P(X=35)P\left(X=35\right)

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
    • Nous savons que XX suit la loi binomiale B(40;0,9)\mathscr{B}\left(40;0,9\right). Nous cherchons la probabilité P(X=35)P\left(X=35\right). Il vient alors que : n=40n=40 ; p=0,9p=0,9 et k=35k=35.
    On peut alors écrire que :
    P(X=35)=(4035)0,935×(1−0,9)40−35P\left(X=35\right)=\left(\begin{array}{c} {40} \\ {35} \end{array}\right)0,9^{35} \times \left(1-0,9\right)^{40-35}
    P(X=35)=(4035)0,935×0,15P\left(X=35\right)=\left(\begin{array}{c} {40} \\ {35} \end{array}\right)0,9^{35} \times 0,1^{5}
    D'après la calculatrice :
    P(X=35)≈0,16P\left(X=35\right)\approx 0,16