Lois de probabilités discrètes

Identifier une loi uniforme discrète - Exercice 1

5 min
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Question 1
Dans chaque cas, dire si la variable aléatoire définie suit une loi unifirme discrète.

On lance un dé équilibré à 66 faces numérotés de 11 à 66. XX est la variable aléatoire qui prend pour valeur le résultat donnée par le dé.

Correction
    Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,n\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à nn avec la probabilité 1n\frac{1}{n} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,n\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{n} .
    • XX prend les valeurs {1,2,…,6}\left\{1,2,\ldots ,6\right\} . Le dé étant équilibré, la probabilité pour obtenir une face est la même pour chaque face c'est à dire 16\frac{1}{6} .
    Il en résulte donc que XX suit donc la loi uniforme sur {1,2,…,6}\left\{1,2,\ldots ,6\right\} .
    Question 2

    Une urne dispose de 55 boules indiscernables au toucher. Il y a 33 boules numérotés 11 et deux boules numérotés 22. On note XX la variable aléatoire qui prend comme valeur le numéro de la boule tirée.

    Correction
      Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
    Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,n\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à nn avec la probabilité 1n\frac{1}{n} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,n\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{n} .
    • XX prend les valeurs {1,2}\left\{1,2\right\}.
    D'après l'énoncé, P(X=1)=35P\left(X=1\right)=\frac{3}{5} et P(X=2)=25P\left(X=2\right)=\frac{2}{5} .
    Nous avons donc P(X=1)≠P(X=2)P\left(X=1\right)\ne P\left(X=2\right)
    Il en résulte donc que XX ne suit donc pas la loi uniforme sur {1,2}\left\{1,2\right\} .
    Question 3

    Une roue de loterie est composé de 44 cadrans de couleurs : rouge, bleu, vert et noir. On fait tourner la roue et on tombe au hasard sur une des 44 couleurs.
    XX est la variable aléatoire qui prend 11 si l'on tombe sur le rouge, 22 si l'on tombe sur le bleu, 33 si l'on tombe sur le vert et 44 si l'on tombe sur le noir.

    Correction
      Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
    Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,n\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à nn avec la probabilité 1n\frac{1}{n} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,n\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{n} .
    • XX prend les valeurs {1,2,…,4}\left\{1,2,\ldots ,4\right\}. On fait tourner la roue et on tombe au hasard sur une des 44 couleurs. La probabilité pour obtenir une couleur est équiprobable c'est à dire 14\frac{1}{4} .
    Il en résulte donc que XX suit donc la loi uniforme sur {1,2,…,4}\left\{1,2,\ldots ,4\right\} .
    Question 4

    Adam prend un jeu vidéo au hasard dans son étagère. Pour les reconnaître, Adam a numéroté ses jeux de 11 à 100100 . (Adam est un sacré joueur :) ) .
    On note XX la variable aléatoire qui prend comme valeur le numéro du jeu choisi.

    Correction
      Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
    Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,n\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à nn avec la probabilité 1n\frac{1}{n} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,n\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{n} .
    • XX prend les valeurs {1,2,…,100}\left\{1,2,\ldots ,100\right\} . Adam choisit au hasard un jeu. La probabilité pour obtenir un jeu est la même pour chaque jeu c'est à dire 1100\frac{1}{100} .
    Il en résulte donc que XX suit donc la loi uniforme sur {1,2,…,100}\left\{1,2,\ldots ,100\right\} .