Identifier et utiliser la loi géométrique - Exercice 3

$$\purple{\text{Rédaction type :}}$$
La variable aléatoire $$X$$ compte le nombre de tirages nécessaires pour obtenir un succès $$\red{\text{(tirer un AS)}}$$ lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est $$p=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$$ .
$$X$$ suit alors la loi géométrique de paramètre $$p=\frac{1}{8}$$ .
On écrit également que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$$

Nous savons que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$$ .
Il en résulte donc que :
Il nous faut donc calculer : $$P\left(X\ge 8\right)$$
Or : $$P\left(X\ge 8\right)=P\left(X>7\right)$$
Ainsi :
$$P\left(X>7\right)=\left(1-\frac{1}{8}\right)^{7}$$
$$P\left(X>7\right)\approx 0,393$$
Ainsi : arrondi à $$10^{-3}$$ près .
La probabilité que l'on ait besoin de $$8$$ parties ou plus pour obtenir un AS est environ $$0,393$$

Nous savons que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$$ .
Il en résulte donc que :
Il nous faut donc calculer :
$$P\left(X=5\right)=\frac{1}{8}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)^{5-1}$$
$$P\left(X=5\right)=\frac{2\;401}{32\;768}$$
Ainsi : arrondi à $$10^{-3}$$ près .
La probabilité d'obtenir un premier succès lors du $$5$$^ème tirage est environ $$0,073$$ .

Nous savons que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$$ .
Il en résulte donc que :
$$E\left(X\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{8} \right)}$$
D'où :
$$\blue{\text{En moyenne}}$$ sur un grand nombre de tirages, il faudra $$8$$ tirages pour tirer un AS.

Nous savons que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$$ .
Il en résulte donc que :
$$V\left(X\right)=\frac{1-\frac{1}{8}}{\left(\frac{1}{8}\right)^{2} }$$ ainsi
$$\sigma \left(X\right)=\sqrt{56}$$ d'où