Identifier et utiliser la loi géométrique - Exercice 2

$$\purple{\text{Rédaction type :}}$$
La variable aléatoire $$X$$ compte le nombre de parties nécessaires pour obtenir un succès $$\red{\text{(battre le champion)}}$$ lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est $$p=0,04$$ .
$$X$$ suit alors la loi géométrique de paramètre $$p=0,04$$ .
On écrit également que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(0,04\right)$$

Il nous faut donc calculer :$$P\left(X\ge 12\right)$$
Or : $$P\left(X\ge 12\right)=P\left(X>11\right)$$
Ainsi :
$$P\left(X>11\right)=\left(1-0,04\right)^{11}$$
$$P\left(X>11\right)\approx 0,634$$
Ainsi : arrondi à $$10^{-3}$$ près .
La probabilité qu’Aaron ait besoin de $$12$$ parties ou plus pour battre le champion est environ $$0,634$$

Il nous faut donc calculer :
$$P\left(X=17\right)=0,04\times\left(1-0,04\right)^{17-1}$$
Ainsi : arrondi à $$10^{-3}$$ près .
La probabilité d'obtenir un premier succès lors de la $$17$$^ème partie est environ $$0,021$$ .

Il nous faut donc calculer :
$$P\left(X\le 8\right)=1-\left(1-0,04\right)^{8}$$
Ainsi : arrondi à $$10^{-3}$$ près .
La probabilité d'obtenir un premier succès avant la $$8$$^ème partie est environ $$0,279$$ .

Nous savons que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(0,04\right)$$ .
Il en résulte donc que :
$$E\left(X\right)=\frac{1}{0,04}$$
D'où :
$$\blue{\text{En moyenne}}$$ sur un grand nombre de parties, il faudra à Aaron $$25$$ parties pour battre le champion.

Nous savons que $$X$$ est la variable aléatoire suivant $$\mathscr{G}\left(0,04\right)$$ .
Il en résulte donc que :
$$V\left(X\right)=\frac{1-0,04}{0,04^{2} }$$ ainsi
$$\sigma \left(X\right)=\sqrt{600}$$ d'où