Identifier et utiliser la loi géométrique

$\purple{\text{Rédaction type :}}$
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de répétitions nécessaires pour obtenir un succès $\red{\text{(tirer une boule noire)}}$ lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est $p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$ .
$X$ suit alors la loi géométrique de paramètre $p=\frac{1}{5}$ .
On écrit également que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(\frac{1}{5}\right)$

Il nous faut donc calculer :
$P\left(X=6\right)=\frac{1}{5}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)^{6-1}$
$P\left(X=6\right)=\frac{1024}{15\;625}$
Ainsi : arrondi à $10^{-3}$ près .
La probabilité d'obtenir un premier succès lors du $6$^ème tirage est environ $0,066$ .

Nous savons que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(\frac{1}{5}\right)$ .
Il en résulte donc que :
$E\left(X\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{5} \right)}$
D'où :
$\blue{\text{En moyenne}}$ sur un grand nombre de tirages, il faudra $5$ tirages pour tirer une boule noire.

$\purple{\text{Rédaction type :}}$
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de parties nécessaires pour obtenir un succès $\red{\text{(battre le champion)}}$ lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est $p=0,04$ .
$X$ suit alors la loi géométrique de paramètre $p=0,04$ .
On écrit également que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(0,04\right)$

Il nous faut donc calculer :$P\left(X\ge 12\right)$
Or : $P\left(X\ge 12\right)=P\left(X>11\right)$
Ainsi :
$P\left(X>11\right)=\left(1-0,04\right)^{11}$
$P\left(X>11\right)\approx 0,634$
Ainsi : arrondi à $10^{-3}$ près .
La probabilité qu’Aaron ait besoin de $12$ parties ou plus pour battre le champion est environ $0,634$

Il nous faut donc calculer :
$P\left(X=17\right)=0,04\times\left(1-0,04\right)^{17-1}$
Ainsi : arrondi à $10^{-3}$ près .
La probabilité d'obtenir un premier succès lors de la $17$^ème partie est environ $0,021$ .

Il nous faut donc calculer :
$P\left(X\le 8\right)=1-\left(1-0,04\right)^{8}$
Ainsi : arrondi à $10^{-3}$ près .
La probabilité d'obtenir un premier succès avant la $8$^ème partie est environ $0,279$ .

Nous savons que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(0,04\right)$ .
Il en résulte donc que :
$E\left(X\right)=\frac{1}{0,04}$
D'où :
$\blue{\text{En moyenne}}$ sur un grand nombre de parties, il faudra à Aaron $25$ parties pour battre le champion.

Nous savons que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(0,04\right)$ .
Il en résulte donc que :
$V\left(X\right)=\frac{1-0,04}{0,04^{2} }$ ainsi
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{600}$ d'où

$\purple{\text{Rédaction type :}}$
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de tirages nécessaires pour obtenir un succès $\red{\text{(tirer un AS)}}$ lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est $p=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$ .
$X$ suit alors la loi géométrique de paramètre $p=\frac{1}{8}$ .
On écrit également que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$

Nous savons que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$ .
Il en résulte donc que :
Il nous faut donc calculer : $P\left(X\ge 8\right)$
Or : $P\left(X\ge 8\right)=P\left(X>7\right)$
Ainsi :
$P\left(X>7\right)=\left(1-\frac{1}{8}\right)^{7}$
$P\left(X>7\right)\approx 0,393$
Ainsi : arrondi à $10^{-3}$ près .
La probabilité que l'on ait besoin de $8$ parties ou plus pour obtenir un AS est environ $0,393$

Nous savons que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$ .
Il en résulte donc que :
Il nous faut donc calculer :
$P\left(X=5\right)=\frac{1}{8}\times\left(1-\frac{1}{8}\right)^{5-1}$
$P\left(X=5\right)=\frac{2\;401}{32\;768}$
Ainsi : arrondi à $10^{-3}$ près .
La probabilité d'obtenir un premier succès lors du $5$^ème tirage est environ $0,073$ .

Nous savons que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$ .
Il en résulte donc que :
$E\left(X\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{8} \right)}$
D'où :
$\blue{\text{En moyenne}}$ sur un grand nombre de tirages, il faudra $8$ tirages pour tirer un AS.

Nous savons que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(\frac{1}{8}\right)$ .
Il en résulte donc que :
$V\left(X\right)=\frac{1-\frac{1}{8}}{\left(\frac{1}{8}\right)^{2} }$ ainsi
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{56}$ d'où

$\purple{\text{Rédaction type :}}$
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un succès $\red{\text{(obtenir Face)}}$ lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est $p=\frac{1}{4}$ .
$X$ suit alors la loi géométrique de paramètre $p=\frac{1}{4}$ .
On écrit également que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(\frac{1}{4}\right)$

Nous savons que $X$ est la variable aléatoire suivant $\mathscr{G}\left(\frac{1}{4}\right)$ .
Il en résulte donc que :
$E\left(X\right)=\frac{1}{\frac{1}{4}}$
D'où :
$\blue{\text{En moyenne}}$ sur un grand nombre de parties, il faudra $4$ lancer pour obtenir la première Face.