Identifier et utiliser la loi géométrique - Exercice 1

7 min
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Question 1
Une urne est composée de 1010 boules dont 88 blanches et 22 noires. On tire une boule avec remise de l'urne jusqu'à ce que l'on tire, pour la première fois, une boule noire.

Montrer que l'on peut modéliser cette situation par une variable aléatoire XX qui suit une loi géométrique.

Correction
Reˊdaction type :\purple{\text{Rédaction type :}}
La variable aléatoire XX compte le nombre de répétitions nécessaires pour obtenir un succès (tirer une boule noire)\red{\text{(tirer une boule noire)}} lorsque l'on réalise de manière indépendante une même expérience de Bernoulli dont la probabilité d'un succès est p=210=15p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} .
XX suit alors la loi géométrique de paramètre p=15p=\frac{1}{5} .
On écrit également que XX est la variable aléatoire suivant G(15)\mathscr{G}\left(\frac{1}{5}\right)
Question 2

Quelle est la probabilité qu'il faille prendre 66 boules pour obtenir enfin une boule noire.

Correction
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • Pour tout entier naturel kk non nul, on a : P(X=k)=p(1−p)k−1{\color{blue}{P\left(X=k\right)=p\left(1-p\right)^{k-1}}}
    • Il nous faut donc calculer :
    P(X=6)=15×(1−15)6−1P\left(X=6\right)=\frac{1}{5}\times\left(1-\frac{1}{5}\right)^{6-1}
    P(X=6)=102415  625P\left(X=6\right)=\frac{1024}{15\;625}
    Ainsi :
    P(X=6)≈0,066P\left(X=6\right)\approx0,066
    arrondi à 10−310^{-3} près .
    La probabilité d'obtenir un premier succès lors du 66ème tirage est environ 0,0660,066 .
    Question 3

    Calculer E(X)E\left(X\right) et en donner une interprétation.

    Correction
      Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre pp que l'on écrit également G(p)\mathscr{G}\left(p\right) .
  • L'espérance de XX est : E(X)=1p{\color{blue}{E\left(X\right)=\frac{1}{p}}}
    • Nous savons que XX est la variable aléatoire suivant G(15)\mathscr{G}\left(\frac{1}{5}\right) .
    Il en résulte donc que :
    E(X)=1(15)E\left(X\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{5} \right)}
    D'où :
    E(X)=5E\left(X\right)=5

    En moyenne\blue{\text{En moyenne}} sur un grand nombre de tirages, il faudra 55 tirages pour tirer une boule noire.

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