Lois de probabilités discrètes

Exercices types : 22ère partie - Exercice 1

10 min
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Question 1

Une variable aléatoire XX suit une loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n; p\right). Son espérance vaut 1,81,8 et son écart-type vaut 1,21,2.
Déterminer nn et pp.

Correction
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Ainsi :
    E(X)=1,8E\left(X\right)=1,8 donc
    n×p=1,8n\times p=1,8

    σ(X)=1,2\sigma \left(X\right)=1,2 d'où :
    n×p×(1−p)=1,2\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}=1,2

    Comme : n×p=1,8\red{n\times p=1,8} et n×p×(1−p)=1,2\sqrt{\red{n\times p}\times \left(1-p\right)}=1,2. Il vient alors que :
    1,8×(1−p)=1,2\sqrt{\red{1,8}\times \left(1-p\right)} =1,2
    1,8×(1−p)=1,221,8\times \left(1-p\right)=1,2^{2}
    1,8×(1−p)=1,441,8\times \left(1-p\right)=1,44
    1−p=1,441,81-p=\frac{1,44}{1,8}
    1−p=0,81-p=0,8
    −p=0,8−1-p=0,8-1
    −p=−0,2-p=-0,2
    Ainsi :
    p=0,2p=0,2

    Or : n×p=1,8n\times p=1,8 , il vient alors que :
    n×0,2=1,8n\times 0,2=1,8
    n=1,80,2n=\frac{1,8}{0,2}
    D'où :
    n=9n=9

    Ainsi XX suit une loi binomiale B(9;0,2)\mathscr{B}\left(9;0,2\right)