Lois de probabilités discrètes

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

8 min
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Adil va à l’école chaque matin avec une trousse. À la fin de la journée, il oublie sa trousse avec une probabilité de 0,20,2. Dans l’année le nombre de jours d’école est de 162162. On considère que les oublis journaliers sont indépendants les uns des autres. On appelle XX la variable aléatoire qui compte le nombre de jours dans l'année où Adil oublie sa trousse.
Question 1

Quelle est la loi de XX ?

Correction
On considère l'expérience ci-dessous aˋ deux issues :\red{\text{à deux issues :}}
  • On appelle succeˋs\red{\text{succès}} « oublier la trousse » avec la probabilité p=0,2p=0,2
  • On appelle eˊchec\red{\text{échec}} « ne pas oublier la trousse » avec la probabilité 1−p=0,81-p=0,8
    • On répète 162162 fois de suite cette expérience de Bernoulli de façon indeˊpendante\red{\text{façon indépendante}}.
    On est donc en présence d’un scheˊma de Bernoulli.\red{\text{d'un schéma de Bernoulli.}}
    XX est la variable aléatoire qui compte le nombre de jours dans l'année où Adil oublie sa trousse.
    XX suit la loi binomiale de paramètre n=162n=162 et p=0,2p=0,2
    On note alors XX suit a loi binomiale B(162;0,2)\mathscr{B}\left(162;0,2 \right)
    Question 2

    Quelle est la probabilité qu'Adil oublie 3030 fois sa trousse dans l'année?

    Correction
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
    • Nous savons que XX suit a loi binomiale B(162;0,2)\mathscr{B}\left(162;0,2 \right). Nous cherchons la probabilité P(X=30)P\left(X=30\right). Il vient alors que : n=162n=162 ; p=0,2p=0,2 et k=30k=30.
    On peut alors écrire que :
    P(X=30)=(16230)0,230×(1−0,2)162−30P\left(X=30\right)=\left(\begin{array}{c} {162} \\ {30} \end{array}\right)0,2^{30} \times \left(1-0,2\right)^{162-30}
    P(X=30)=(16230)0,230×0,8132P\left(X=30\right)=\left(\begin{array}{c} {162} \\ {30} \end{array}\right)0,2^{30} \times 0,8^{132}
    D'après la calculatrice :
    P(X=30)≈0,07P\left(X=30\right)\approx 0,07

    Il y a 7%7\% de chance pour qu'Adil oublie exactement 3030 fois sa trousse dans l'année.
    Question 3

    Dans une année scolaire, combien de jours en moyenne Adil oubliera sa trousse ?

    Correction
    XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)\mathscr{B}\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right) est égale à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
    • Nous savons que XX suit a loi binomiale B(162;0,2)\mathscr{B}\left(162;0,2 \right).
    Ainsi :
    E(X)=162×0,2E\left(X\right)=162\times 0,2
    donc
    E(X)=32,4E\left(X\right)=32,4

    En moyenne\blue{\text{En moyenne}} Adil oubliera, pendant l'année scolaire, 3232 fois sa trousse.