On appelle succeˋs « oublier la trousse » avec la probabilité p=0,2
On appelle eˊchec « ne pas oublier la trousse » avec la probabilité 1−p=0,8
On répète 162 fois de suite cette expérience de Bernoulli de façon indeˊpendante. On est donc en présence d’un scheˊma de Bernoulli. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de jours dans l'année où Adil oublie sa trousse. X suit la loi binomiale de paramètre n=162 et p=0,2 On note alors X suit a loi binomiale B(162;0,2)
2
Quelle est la probabilité qu'Adil oublie 30 fois sa trousse dans l'année?
Correction
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p) alors, pour tout entier k compris entre 0 et n, on a :
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k
Nous savons que X suit a loi binomiale B(162;0,2). Nous cherchons la probabilité P(X=30). Il vient alors que : n=162 ; p=0,2 et k=30. On peut alors écrire que : P(X=30)=(16230)0,230×(1−0,2)162−30 P(X=30)=(16230)0,230×0,8132 D'après la calculatrice :
P(X=30)≈0,07
Il y a 7% de chance pour qu'Adil oublie exactement 30 fois sa trousse dans l'année.
3
Dans une année scolaire, combien de jours en moyenne Adil oubliera sa trousse ?
Correction
X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p), alors l’espérance mathématique E(X) est égale à :
E(X)=n×p
Nous savons que X suit a loi binomiale B(162;0,2). Ainsi : E(X)=162×0,2 donc
E(X)=32,4
En moyenne Adil oubliera, pendant l'année scolaire, 32 fois sa trousse.
Exercice 2
X est une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramaètre p . On suppose que P(X>2)=169
1
Déterminer la valeur de p .
Correction
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre p que l'on écrit également G(p) .
Pour tout entier naturel k non nul, on a : P(X>k)=(1−p)k
D'après les hypothèses, nous savons que : P(X>2)=169 Il en résulte donc que : (1−p)2=169 . Il nous faut donc résoudre cette équation : (1−p)2−169=0 (1−p)2−4232=0 (1−p)2−(43)2=0 . On retrouve l'identité remarquable : a2+b2=(a−b)(a+b) (1−p−43)(1−p+43)=0 (41−p)(47−p)=0 Il s'agit d'une équation produit nul.
D’une part : résolvons 41−p qui donne p=41 .
D’autre part : résolvons 47−p qui donne p=47 .
Il est impératif de ce rappeler que 0<p≤1 Il en résulte donc que l'on ne retient que p=41
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