Lois de probabilités discrètes
Exercices types : 1ère partie
Exercice 1
1
Quelle est la loi de
X ?
On considère l'expérience ci-dessous
aˋ deux issues :On appelle succeˋs « oublier la trousse » avec la probabilité p=0,2On appelle eˊchec « ne pas oublier la trousse » avec la probabilité 1−p=0,8On répète
162 fois de suite cette expérience de Bernoulli de
façon indeˊpendante.
On est donc en présence
d’un scheˊma de Bernoulli.X est la variable aléatoire qui compte le nombre de jours dans l'année où Adil oublie sa trousse.
X suit la loi binomiale de paramètre
n=162 et
p=0,2On note alors
X suit a loi binomiale
B(162;0,2)2
Quelle est la probabilité qu'Adil oublie
30 fois sa trousse dans l'année?
Soit
X une variable aléatoire suivant la loi binomiale
B(n;p) alors, pour tout entier
k compris entre
0 et
n, on a :
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k Nous savons que
X suit a loi binomiale
B(162;0,2). Nous cherchons la probabilité
P(X=30). Il vient alors que :
n=162 ;
p=0,2 et
k=30.
On peut alors écrire que :
P(X=30)=(16230)0,230×(1−0,2)162−30 P(X=30)=(16230)0,230×0,8132 D'après la calculatrice :
P(X=30)≈0,07 Il y a
7% de chance pour qu'Adil oublie exactement
30 fois sa trousse dans l'année.
3
Dans une année scolaire, combien de jours en moyenne Adil oubliera sa trousse ?
X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale
B(n,p), alors l’espérance mathématique
E(X) est égale à :
E(X)=n×p Nous savons que
X suit a loi binomiale
B(162;0,2).
Ainsi :
E(X)=162×0,2 donc
E(X)=32,4 En moyenne Adil oubliera, pendant l'année scolaire,
32 fois sa trousse.
Exercice 2
1
Déterminer la valeur de
p .
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre p que l'on écrit également G(p) .
Pour tout entier naturel k non nul, on a : P(X>k)=(1−p)kD'après les hypothèses, nous savons que :
P(X>2)=169Il en résulte donc que :
(1−p)2=169 . Il nous faut donc résoudre cette équation :
(1−p)2−169=0(1−p)2−4232=0(1−p)2−(43)2=0 .
On retrouve l'identité remarquable :
a2+b2=(a−b)(a+b)(1−p−43)(1−p+43)=0(41−p)(47−p)=0 Il s'agit d'une équation produit nul.
D’une part : résolvons 41−p qui donne p=41 . D’autre part : résolvons 47−p qui donne p=47 . Il est impératif de ce rappeler que
0<p≤1Il en résulte donc que l'on ne retient que
p=41