Lois de probabilités discrètes

Calculer avec une loi uniforme discrète - Exercice 2

6 min
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Une variable aléatoire XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,37}\left\{1,2,\ldots ,37\right\}
Question 1
Déterminer les probabilités suivantes :

P(X=19)P\left(X=19\right)

Correction
    Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à n{\color{blue}n} avec la probabilité 1n\frac{1}{{\color{blue}n}} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{{\color{blue}n}} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,37}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}37}\right\} ainsi :
    P(X=19)=137P\left(X=19\right)=\frac{1}{{\color{blue}37}}

    Question 2

    P(X≤8)P\left(X\le 8\right)

    Correction
      Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
    Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à n{\color{blue}n} avec la probabilité 1n\frac{1}{{\color{blue}n}} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{{\color{blue}n}} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,37}\left\{1,2,\ldots ,37\right\} ainsi :
    P(X≤8)=P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=7)+P(X=8)P\left(X\le 8\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+\ldots +P\left(X=7\right)+P\left(X=8\right)
    P(X≤8)=8×137P\left(X\le 8\right)=8\times \frac{1}{37}
    D'où :
    P(X≤8)=837P\left(X\le 8\right)=\frac{8}{37}
    Question 3

    P(X≥32)P\left(X\ge 32\right)

    Correction
      Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
    Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à n{\color{blue}n} avec la probabilité 1n\frac{1}{{\color{blue}n}} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{{\color{blue}n}} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,37}\left\{1,2,\ldots ,37\right\} ainsi :
    P(X≥32)=P(X=32)+P(X=33)+…+P(X=37)P\left(X\ge 32\right)=P\left(X=32\right)+P\left(X=33\right)+\ldots +P\left(X=37\right)
    P(X≥32)=6×137P\left(X\ge 32\right)=6\times \frac{1}{37}
    D'où :
    P(X≥32)=637P\left(X\ge 32\right)=\frac{6}{37}

    Question 4

    P(10≤X≤22)P\left(10\le X\le 22\right)

    Correction
      Loi uniforme discreˋte\red{\text{Loi uniforme discrète}}
    Soit nn un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\} lorsque XX prend toutes les valeurs entières de 11 à n{\color{blue}n} avec la probabilité 1n\frac{1}{{\color{blue}n}} .
  • Autrement dit, pour tout k∈{1,2,…,n}k \in \left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}n}\right\}, on a : P(X=k)=1nP\left(X=k\right)=\frac{1}{{\color{blue}n}} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,37}\left\{1,2,\ldots ,37\right\} ainsi :
    P(10≤X≤22)=P(X=10)+P(X=11)+…+P(X=22)P\left(10\le X\le 22\right)=P\left(X=10\right)+P\left(X=11\right)+\ldots +P\left(X=22\right)
    P(10≤X≤22)=13×137P\left(10\le X\le 22\right)=13\times \frac{1}{37}
    D'où :
    P(10≤X≤22)=1337P\left(10\le X\le 22\right)=\frac{13}{37}

    Question 5

    Calculer l'espérance de XX et en donner une interprétation .

    Correction
      L’espeˊrance matheˊmatique de loi uniforme discreˋte\red{\text{L'espérance mathématique de loi uniforme discrète}}
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{n}}\right\} .
  • L'espérance mathématique de XX est égale à : E(X)=n+12E\left(X\right)=\frac{{\color{blue}{n}}+1}{2} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,37}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{37}}\right\}, il vient alors que :
    E(X)=37+12E\left(X\right)=\frac{{\color{blue}{37}}+1}{2}
    D'où :
    E(X)=19E\left(X\right)=19

    Si l'on répète à l'identique cette expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs obtenues sera proche de l'espérance 1919 .
    Question 6

    Calculer la variance de XX et l'écart-type de XX .

    Correction
      La variance de loi uniforme discreˋte\red{\text{La variance de loi uniforme discrète}}
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{n}}\right\} .
  • La variance de XX est égale à : V(X)=n2−112V\left(X\right)=\frac{{\color{blue}{n}}^{2}-1}{12} .
    • XX suit une loi uniforme sur {1,2,…,37}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{37}}\right\}, il vient alors que :
    V(X)=372−112V\left(X\right)=\frac{{\color{blue}{37}}^{2}-1}{12}
    Ainsi :
    V(X)=114V\left(X\right)=114

      L’eˊcart-type de loi uniforme discreˋte\red{\text{L'écart-type de loi uniforme discrète}}
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur {1,2,…,n}\left\{1,2,\ldots ,{\color{blue}{n}}\right\} .
  • La variance de XX est égale à : σ(X)=n2−112\sigma\left(X\right)=\sqrt{\frac{{\color{blue}{n}}^{2}-1}{12} } que l'on écrit σ(X)=V(X)\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right) }
    • Il en résulte donc que :
    σ(X)=114\sigma\left(X\right)=\sqrt{114 }