Premier contact avec le théorème des valeurs intermédiaires - Exercice 8

On va commencer par calculer la dérivée de $$g$$.
Il vient alors que :
$$g$$est dérivable sur$$\left[-2;3\right]$$, pour tout réel $$\left[-2;3\right]$$ , on a
$$g'\left(x\right)=3x^{2} -3$$
C'est une équation du second degré.
On calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta =36$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes telles que $$x_{1} =-1$$ et $$x_{2} =1$$.
Comme $$a=3>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de $$g'$$ ainsi que le tableau de variation de $$g$$.
On indiquera les valeurs des extrema.

De plus :
$$g\left(-1\right)=\left(-1\right)^{3} -3\times \left(-1\right)^{2} -3$$ ainsi $$g\left(-1\right)=-1$$
$$g\left(1\right)=1^{3} -3\times 1^{2} -3$$ ainsi $$g\left(1\right)=-5$$
De la même manière : $$g\left(-2\right)=-5$$ et $$g\left(3\right)=15$$

On reprend le tableau de variation fait à la question 1. On fera apparaitre dans le tableau le zéro que l'on recherche.

• Sur $$\left[-2;1\right]$$, la fonction $$g$$ est $$\red{\text{continue}}$$ et admet $$-1$$ comme maximum.
  La fonction $$g$$ est strictement négative.
  Donc l'équation $$g\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[1;3\right]$$, la fonction $$g$$ est $$\red{\text{continue}}$$ et $$\blue{\text{strictement croissante .}}$$
  De plus, $$g\left(1\right)=-5$$ et $$g\left(3\right)=15$$ . Or $$0\in \left[-5;15\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-2;3\right]$$ tel que $$g\left(x\right)=0$$.

A la calculatrice, on vérifie que :
$$g\left(2,1\right)\approx -0,039$$ et $$g\left(2,11\right)\approx 0,0639$$ . Or $$0\in \left]-0,039;0,0639\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que $$2,1\le \alpha \le 2,11$$

Sur $$\left[-2;1\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet $$-1$$ comme maximum. La fonction $$g$$ est strictement négative.
Sur $$\left[1;3\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement croissante et $$g\left(\alpha \right)=0$$.
Donc $$g\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left[-2;\alpha \right]$$ et $$g\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;3\right]$$.
On résume cela dans un tableau de signe :