Premier contact avec le théorème des valeurs intermédiaires - Exercice 7

On va commencer par calculer la dérivée de $$g$$.
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=-3x^{2} +2x$$
C'est une équation du second degré. On calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta =4$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} =\frac{2}{3}$$ et $$x_{2} =0$$
Comme $$a=-3<0$$, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de $$g'$$ ainsi que le tableau de variation de $$g$$.
On indiquera les valeurs des extrema.

De plus :
$$g\left(0\right)=-0^{3} +0^{2} +3$$ ainsi $$g\left(0\right)=3$$
$$g\left(\frac{2}{3} \right)=-\left(\frac{2}{3} \right)^{3} +\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +3$$ ainsi $$g\left(\frac{2}{3} \right)=\frac{85}{27}$$
De la même manière : $$g\left(-2\right)=15$$ et $$g\left(5\right)=-97$$

On reprend le tableau de variation fait à la question $$1$$. On fera apparaître dans le tableau le zéro que l'on recherche.

De plus :

• Sur $$\left[-2;\frac{2}{3} \right]$$, la fonction $$g$$ est $$\red{\text{continue}}$$ et admet $$3$$ comme minimum.
  La fonction $$g$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$g\left(x\right)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[\frac{2}{3} ;5\right]$$, la fonction $$g$$ est $$\red{\text{continue}}$$ et $$\blue{\text{strictement décroissante .}}$$
  De plus, $$g\left(\frac{2}{3} \right)=\frac{85}{27}$$ et $$g\left(5\right)=-97$$ .
  Or $$\left[-97;\frac{85}{27} \right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-2;5\right]$$ tel que $$g\left(x\right)=0$$.

A la calculatrice, on vérifie que :
$$g\left(1,86\right)\approx 0,0247$$ et $$g\left(1,87\right)\approx -0,042$$ .
Or $$0\in \left]-0,042;0,0247\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left[-2;\frac{2}{3} \right]$$, la fonction $$g$$ est continue et admet 3 comme minimum.
La fonction $$g$$ est strictement positive.
Sur $$\left[\frac{2}{3} ;5\right]$$, la fonction $$g$$ est continue et strictement décroissante et $$g\left(\alpha \right)=0$$.
Donc $$g\left(x\right)\ge 0$$ pour tout $$x\in \left[-2;\alpha \right]$$ et $$g\left(x\right)\le 0$$ pour tout $$x\in \left[\alpha ;5\right]$$.
On résume cela dans un tableau de signe :