Limites et continuité

Premier contact avec le théorème des valeurs intermédiaires - Exercice 6

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Question 1
Soit ff une fonction continue sur l'intervalle I=[−6;10]I=\left[-6;10\right]. On dresse le tableau de variation ci-dessous :

Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur [−6;10]\left[-6;10\right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :

  • Sur [−6;1]\left[-6;1\right] , la fonction ff est continue\red{\text{continue}} et admet 55 comme minimum.
    La fonction ff est strictement positive.
    Donc l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
  • Sur [7;10]\left[7;10\right] , la fonction ff est continue et admet −1-1 comme maximum.
    La fonction ff est strictement négative.
    Donc l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
  • Sur [1;7]\left[1;7\right] , la fonction ff est continue\red{\text{continue}} et strictement deˊcroissante .\blue{\text{strictement décroissante .}}
    De plus, f(1)=8f\left(1\right)=8 et f(7)=−2f\left(7\right)=-2 .
    Or 0∈[−2;8]0 \in \left[-2;8\right] , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans [1;7]\left[1;7\right] tel que f(x)=0f(x) = 0
Finalement, l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur [−6;10]\left[-6;10\right].