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Premier contact avec le théorème des valeurs intermédiaires - Exercice 4

5 min
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Question 1
Soit ff une fonction continue sur l'intervalle I=[−4;7]I=\left[-4;7\right]. On dresse le tableau de variation ci-dessous :

Démontrer que l'équation f(x)=1f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur [−4;7]\left[-4;7\right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
Nous faisons apparaître la valeur 1 recherchée dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que

  • Sur [−4;1]\left[-4;1\right] , la fonction ff est continue\red{\text{continue}} et admet 33 comme minimum.
    La fonction ff est strictement supérieur à 11.
    Donc l'équation f(x)=1f\left(x\right)=1 n'a pas de solution sur cet intervalle.
  • Sur [1;7]\left[1;7\right] , la fonction ff est continue\red{\text{continue}} et strictement deˊcroissante .\blue{\text{strictement décroissante .}}
    De plus, f(1)=6f\left(1\right)=6 et f(7)=−5f\left(7\right)=-5
    Or 1∈[−5;6]1 \in \left[-5;6\right] , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans [1;7]\left[1;7\right] tel que f(x)=1f(x) = 1
Finalement, l'équation f(x)=1f\left(x\right)=1 admet une unique solution sur [−4;7]\left[-4;7\right].

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