Premier contact avec le théorème des valeurs intermédiaires - Exercice 3

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Question 1
Soit ff une fonction continue sur l'intervalle I=]−∞;+∞[I=\left]-\infty ;+\infty \right[. On dresse le tableau de variation ci-dessous :

Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
On notera α\alpha cette solution.

Correction
Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :

  • Sur ]−∞;1[\left]-\infty ;1\right[ , la fonction ff est continue\red{\text{continue}} et admet 33 comme minimum.
    La fonction ff est strictement positive.
    Donc l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
  • Sur [1;+∞[\left[1;+\infty\right[ , la fonction ff est continue\red{\text{continue}} et strictement deˊcroissante .\blue{\text{strictement décroissante .}}
    De plus, f(1)=5f\left(1\right)=5 et lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim _{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = -\infty
    Or 0∈]−∞;5]0 \in \left]-\infty;5\right] , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans [1;+∞[\left[1;+\infty\right[ tel que f(x)=0f(x) = 0.
Finalement, l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.

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