Limites et continuité

Premier contact avec le théorème des valeurs intermédiaires - Exercice 2

5 min
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Question 1
Soit ff une fonction continue sur l'intervalle I=[2;7]I=\left[-2;7\right]. On dresse le tableau de variation ci-dessous :

Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur [2;7]\left[-2;7\right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :
Sur [2;7]\left[-2;7\right], la fonction ff est continue\red{\text{continue}} et strictement croissante .\blue{\text{strictement croissante .}}
De plus, f(2)=1f\left(-2\right)=-1 et f(7)=3f\left(7\right)=3 .
Or 0[1;3]0\in \left[-1;3\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha appartenant à l'intervalle [2;7]\left[-2;7\right] tel que f(x)=0f\left(x\right)=0.