Limites et continuité

Premier contact avec le théorème des valeurs intermédiaires - Exercice 1

5 min
10
Question 1
Soit ff une fonction continue sur l'intervalle I=[1;5]I=\left[1;5\right]. On dresse le tableau de variation ci-dessous :

Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur [1;5]\left[1;5\right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :
Sur [1;5]\left[1;5\right], la fonction ff est continue\red{\text{continue}} et strictement deˊcroissante .\blue{\text{strictement décroissante .}}
De plus, f(1)=3f\left(1\right)=3 et f(5)=−2f\left(5\right)=-2 .
Or 0∈[−2;3]0\in \left[-2;3\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha appartenant à l'intervalle [1;5]\left[1;5\right] tel que f(x)=0f\left(x\right)=0.