Limites et continuité

Lire des limites dans un tableau de variation - Exercice 5

5 min
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Voici la représentation graphique d’une fonction ff.
Question 1

Donnez les valeurs de toutes les limites. Que pouvons nous en déduire graphiquement?

Correction
Si limx+f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si limxf(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
D'après la représentation graphique , on lit :
limxf(x)=0\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =0 et limx+f(x)=1\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =-1
Comme limxf(x)=0\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =0 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=0y=0
Comme limx+f(x)=1\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =-1 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=1y=-1
Si limxnombref(x)=+\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si limxnombref(x)=\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Ainsi :
limx0f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=0x=0
limx0+f(x)=+\lim\limits_{x\to 0^{+} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=0x=0
limx2f(x)=+\lim\limits_{x\to 2^{-} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=2x=2
limx2+f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=2x=2