Limites et continuité

Lire des limites dans un tableau de variation - Exercice 4

5 min
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Question 1
Soit le tableau de variation de la fonction ff ci-dessous :

Quelle est l'ensemble de définition de DfD_{f} de la fonction ff.

Correction
On observe qu'il y aune valeur interdite lorsque x=6x=-6 modélisée par la double barre dans le tableau.
Le domaine de définition est alors : Df=];6[]6;+[D_{f} =\left]-\infty ;-6\right[\cup \left]-6;+\infty \right[
Question 2

Quelles sont les limites de ff aux bornes de DfD_{f}. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
Si limx+f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si limxf(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si limxnombref(x)=+\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si limxnombref(x)=\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Il faut, dans notre cas, lire à l'aide du tableau 44 limites qui sont :
limxf(x)\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) ; limx+f(x)\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) ; limx6f(x)\lim\limits_{x\to -6^{-} } f\left(x\right) et limx6+f(x)\lim\limits_{x\to -6^{+} } f\left(x\right)
Ainsi :
limxf(x)=\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=-\infty
limx+f(x)=2\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=2 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=2y=2
limx6f(x)=\lim\limits_{x\to -6^{-} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=6x=-6
limx6+f(x)=\lim\limits_{x\to -6^{+} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=6x=-6