Limites et continuité

Lire des limites dans un tableau de variation - Exercice 3

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Question 1
Soit le tableau de variation de la fonction ff ci-dessous :

Quelle est l'ensemble de définition de DfD_{f} de la fonction ff.

Correction
On observe qu'il y aune valeur interdite lorsque x=5x=5 modélisée par la double barre dans le tableau.
Le domaine de définition est alors : Df=];5[]5;+[D_{f} =\left]-\infty ;5\right[\cup \left]5;+\infty \right[
Question 2

Quelles sont les limites de ff aux bornes de DfD_{f}. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
Si limx+f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si limxf(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si limxnombref(x)=+\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si limxnombref(x)=\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Il faut, dans notre cas, lire à l'aide du tableau 44 limites qui sont :
limxf(x)\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) ; limx+f(x)\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) ; limx5f(x)\lim\limits_{x\to 5^{-} } f\left(x\right) et limx5+f(x)\lim\limits_{x\to 5^{+} } f\left(x\right)
Ainsi :
limxf(x)=+\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=+\infty
limx+f(x)=9\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)= 9 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=9y=9
limx5f(x)=+\lim\limits_{x\to 5^{-} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=5x=5
limx5+f(x)=+\lim\limits_{x\to 5^{+} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=5x=5