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Lire des limites à l'aide d'une représentation graphique - Exercice 1

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Question 1
Soit ff une fonction définie sur ];3[]3;4[]4;+[\left]-\infty ;-3\right[\cup \left]-3;4\right[\cup \left]4;+\infty \right[ et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative. Les droites d1d_{1}, d2d_{2} et d3d_{3} sont des asymptotes à Cf\mathscr{C_f}.

Par lecture graphique, conjecturer les limites de la fonction ff .

Correction
Si limx+f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si limxf(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =lll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
D'après la représentation graphique , on lit :
limxf(x)=2\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =2 et limx+f(x)=2\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =2
Comme limxf(x)=2\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =2 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=2y=2
Comme limx+f(x)=2\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =2 alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=2y=2
Si limxnombref(x)=+\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Si limxnombref(x)=\lim\limits_{x\to \text{nombre}} f(x) =-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=nombrex=\text{nombre}
Ainsi :
limx3f(x)=+\lim\limits_{x\to -3^{-} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=3x=-3
limx3+f(x)=\lim\limits_{x\to -3^{+} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=3x=-3
limx4f(x)=\lim\limits_{x\to 4^{-} } f\left(x\right)=-\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=4x=4
limx4+f(x)=+\lim\limits_{x\to 4^{+} } f\left(x\right)=+\infty alors la fonction ff admet une asymptote verticale d'équation x=4x=4