Limites et continuité

Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 3

10 min
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Question 1
Déterminez les limites suivantes :

limx+3e2x25\lim\limits_{x\to +\infty } 3e^{-2x^{2} -5}

Correction
Ici, il s’agit d’une limite par composition.\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer limx+2x25=\lim\limits_{x\to \color{red}+\infty } -2x^{2} -5={\color{blue}-\infty}.
On pose X=2x25X=-2x^{2} -5. Lorsque xx tend vers +{\color{red}+\infty} alors XX tend vers {\color{blue}-\infty}.
Ainsi : limX3eX=0\lim\limits_{X\to {\color{blue}-\infty} } 3e^{X} ={\color{green}0} .
Par composition :
limx+3e2x25=0\lim\limits_{x\to \color{red}+\infty } 3e^{-2x^{2} -5} ={\color{green}0}

Question 2

limxex+22x23\lim\limits_{x\to -\infty } e^{\frac{x+2}{2x^{2} -3} }

Correction
Ici, il s’agit d’une limite par composition.\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer limxx+22x23=limxx2(1x+2x2)x2(23x2)=limx1x+2x223x2=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x+2}{2x^{2} -3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(2-\frac{3}{x^{2} } \right)} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } }{2-\frac{3}{x^{2} } } =0.
On pose X=x+22x23X=\frac{x+2}{2x^{2} -3} .
Ainsi : limX0eX=1\lim\limits_{X\to 0} e^{X} =1.
Par composition :
limxex+22x23=1\lim\limits_{x\to -\infty } e^{\frac{x+2}{2x^{2} -3} } =1

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation y=1y=1
Question 3

limx+e2x2+x+1\lim\limits_{x\to +\infty } e^{\frac{2}{x^{2} +x+1} }

Correction
Ici, il s’agit d’une limite par composition.\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer limx+2x2+x+1=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x^{2} +x+1} =0.
On pose X=2x2+x+1X=\frac{2}{x^{2} +x+1} .
Ainsi : limX0eX=1\lim\limits_{X\to 0} e^{X} =1.
Par composition :
limx+e2x2+x+1=1\lim\limits_{x\to +\infty } e^{\frac{2}{x^{2} +x+1} } =1

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation y=1y=1 au voisinage de ++\infty.