Limites et continuité

Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 2

10 min
20
Question 1
Déterminez les limites suivantes :

limx+(ex2)(3ex){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left(e^{x} -2\right)\left(3-e^{x} \right)

Correction
  • limx+ex=+\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • limxex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
limx+ex2=+limx+3ex=}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}-2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-e^{x}} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
limx+(ex2)(3ex)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left(e^{x} -2\right)\left(3-e^{x} \right)=-\infty

Question 2

limx(2x+4)(ex1){\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(2x+4\right)\left(e^{x} -1\right)

Correction
  • limx+ex=+\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • limxex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
limx2x+4=limxex1=1}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+4} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}-1} & {=} & {-1 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
limx(2x+4)(ex1)=+{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(2x+4\right)\left(e^{x} -1\right)=+\infty
Question 3

limx4x9ex+7{\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{4x-9}{e^{x} +7}

Correction
  • limx+ex=+\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • limxex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
limx4x9=limxex+7=7}par quotient\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x-9} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}+7} & {=} & {7 } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient}}}
limx4x9ex+7={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{4x-9}{e^{x} +7}=-\infty
Question 4

limx+ex(1x1){\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} \left(\frac{1}{x} -1\right)

Correction
  • limx+ex=+\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • limxex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
limx+ex=+limx+1x1=1}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x} -1} & {=} & {-1 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}
limx+ex(1x1)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} \left(\frac{1}{x} -1\right)=-\infty