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Limites et continuité
Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 1
15 min
25
Déterminez les limites suivantes :
Question 1
lim
x
→
+
∞
2
x
+
3
e
x
−
5
\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5
x
→
+
∞
lim
2
x
+
3
e
x
−
5
Correction
lim
x
→
+
∞
e
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
e
x
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
x
→
−
∞
lim
e
x
=
0
lim
x
→
+
∞
2
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
3
e
x
−
5
=
+
∞
}
par addition
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3e^{x} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par addition}}}
x
→
+
∞
lim
2
x
x
→
+
∞
lim
3
e
x
−
5
=
=
+
∞
+
∞
}
par addition
lim
x
→
+
∞
2
x
+
3
e
x
−
5
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5=+\infty
x
→
+
∞
lim
2
x
+
3
e
x
−
5
=
+
∞
Question 2
lim
x
→
+
∞
(
2
x
+
3
)
(
5
−
2
e
x
)
\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)
x
→
+
∞
lim
(
2
x
+
3
)
(
5
−
2
e
x
)
Correction
lim
x
→
+
∞
e
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
e
x
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
x
→
−
∞
lim
e
x
=
0
lim
x
→
+
∞
2
x
+
3
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
5
−
2
e
x
=
−
∞
}
par produit
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-2e^{x} } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}
x
→
+
∞
lim
2
x
+
3
x
→
+
∞
lim
5
−
2
e
x
=
=
+
∞
−
∞
}
par produit
lim
x
→
+
∞
(
2
x
+
3
)
(
5
−
2
e
x
)
=
−
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)=-\infty
x
→
+
∞
lim
(
2
x
+
3
)
(
5
−
2
e
x
)
=
−
∞
Question 3
lim
x
→
−
∞
x
2
−
e
x
+
2
\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2
x
→
−
∞
lim
x
2
−
e
x
+
2
Correction
lim
x
→
+
∞
e
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
e
x
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
e
x
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
x
→
−
∞
lim
e
x
=
0
lim
x
→
−
∞
x
2
=
+
∞
lim
x
→
−
∞
−
e
x
+
2
=
2
}
par somme
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
x
→
−
∞
lim
x
2
x
→
−
∞
lim
−
e
x
+
2
=
=
+
∞
2
}
par somme
lim
x
→
−
∞
x
2
−
e
x
+
2
=
+
∞
\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2=+\infty
x
→
−
∞
lim
x
2
−
e
x
+
2
=
+
∞
Question 4
lim
x
→
−
∞
−
e
x
+
2
2
e
x
+
1
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1}
x
→
−
∞
lim
2
e
x
+
1
−
e
x
+
2
Correction
lim
x
→
−
∞
−
e
x
+
2
=
2
lim
x
→
−
∞
2
e
x
+
1
=
1
}
par quotient
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {1} \end{array}\right\}{\text{par quotient}}
x
→
−
∞
lim
−
e
x
+
2
x
→
−
∞
lim
2
e
x
+
1
=
=
2
1
}
par quotient
lim
x
→
−
∞
−
e
x
+
2
2
e
x
+
1
=
2
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =2
x
→
−
∞
lim
2
e
x
+
1
−
e
x
+
2
=
2
Attention :
on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation
y
=
2
y=2
y
=
2
au voisinage de
−
∞
-\infty
−
∞
.
Question 5
lim
x
→
+
∞
−
2
x
+
3
e
−
x
−
5
\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5
x
→
+
∞
lim
−
2
x
+
3
e
−
x
−
5
Correction
lim
x
→
+
∞
−
2
x
+
3
e
−
x
−
5
=
lim
x
→
+
∞
−
2
x
+
3
e
x
−
5
\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5=\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+\frac{3}{e^{x} } -5
x
→
+
∞
lim
−
2
x
+
3
e
−
x
−
5
=
x
→
+
∞
lim
−
2
x
+
e
x
3
−
5
lim
x
→
+
∞
−
2
x
=
−
∞
lim
x
→
+
∞
3
e
x
−
5
=
−
5
}
par somme
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
x
→
+
∞
lim
−
2
x
x
→
+
∞
lim
e
x
3
−
5
=
=
−
∞
−
5
}
par somme
lim
x
→
+
∞
−
2
x
+
3
e
−
x
−
5
=
−
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5=-\infty
x
→
+
∞
lim
−
2
x
+
3
e
−
x
−
5
=
−
∞
Question 6
lim
x
→
+
∞
3
e
−
x
−
5
2
e
x
+
2
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2}
x
→
+
∞
lim
2
e
x
+
2
3
e
−
x
−
5
Correction
lim
x
→
+
∞
3
e
−
x
−
5
2
e
x
+
2
=
lim
x
→
+
∞
3
1
e
x
−
5
2
e
x
+
2
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3\frac{1}{e^{x} } -5}{2e^{x} +2}
x
→
+
∞
lim
2
e
x
+
2
3
e
−
x
−
5
=
x
→
+
∞
lim
2
e
x
+
2
3
e
x
1
−
5
lim
x
→
+
∞
3
1
e
x
−
5
=
−
5
lim
x
→
+
∞
2
e
x
+
2
=
+
∞
}
par quotient
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3\frac{1}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}
x
→
+
∞
lim
3
e
x
1
−
5
x
→
+
∞
lim
2
e
x
+
2
=
=
−
5
+
∞
}
par quotient
lim
x
→
+
∞
3
e
−
x
−
5
2
e
x
+
2
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =0
x
→
+
∞
lim
2
e
x
+
2
3
e
−
x
−
5
=
0
Attention :
on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation
y
=
0
y=0
y
=
0
au voisinage de
+
∞
+\infty
+
∞
.