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Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 1

15 min
25
Déterminez les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞2x+3ex−5\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→+∞2x=+∞lim⁡x→+∞3ex−5=+∞}par addition\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3e^{x} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par addition}}}
lim⁡x→+∞2x+3ex−5=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3e^{x} -5=+\infty
Question 2

lim⁡x→+∞(2x+3)(5−2ex)\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→+∞2x+3=+∞lim⁡x→+∞5−2ex=−∞}par produit\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-2e^{x} } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\text{par produit}}
lim⁡x→+∞(2x+3)(5−2ex)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } \left(2x+3\right)\left(5-2e^{x} \right)=-\infty
Question 3

lim⁡x→−∞x2−ex+2\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2

Correction
  • lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x} =+\infty
  • lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x} =0
lim⁡x→−∞x2=+∞lim⁡x→−∞−ex+2=2}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
lim⁡x→−∞x2−ex+2=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -e^{x} +2=+\infty
Question 4

lim⁡x→−∞−ex+22ex+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1}

Correction
lim⁡x→−∞−ex+2=2lim⁡x→−∞2ex+1=1}par quotient\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {1} \end{array}\right\}{\text{par quotient}}
lim⁡x→−∞−ex+22ex+1=2\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-e^{x} +2}{2e^{x} +1} =2

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation y=2y=2 au voisinage de −∞-\infty.
Question 5

lim⁡x→+∞−2x+3e−x−5\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5

Correction
lim⁡x→+∞−2x+3e−x−5=lim⁡x→+∞−2x+3ex−5\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5=\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+\frac{3}{e^{x} } -5
lim⁡x→+∞−2x=−∞lim⁡x→+∞3ex−5=−5}par somme\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \end{array}\right\}{\text{par somme}}
lim⁡x→+∞−2x+3e−x−5=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+3e^{-x} -5=-\infty
Question 6

lim⁡x→+∞3e−x−52ex+2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2}

Correction
lim⁡x→+∞3e−x−52ex+2=lim⁡x→+∞31ex−52ex+2\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3\frac{1}{e^{x} } -5}{2e^{x} +2}
lim⁡x→+∞31ex−5=−5lim⁡x→+∞2ex+2=+∞}par quotient\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3\frac{1}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}
lim⁡x→+∞3e−x−52ex+2=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =0

Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation y=0y=0 au voisinage de +∞+\infty.

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