Limites avec la fonction exponentielle

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3e^{x} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par addition}}}$

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -e^{x} +2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 2e^{x} +1} & {=} & {1} \end{array}\right\}{\text{par quotient}}$
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $y=2$ au voisinage de $-\infty$.

$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3e^{-x} -5}{2e^{x} +2} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3\frac{1}{e^{x} } -5}{2e^{x} +2}$
$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3\frac{1}{e^{x} } -5} & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{x} +2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}$
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $y=0$ au voisinage de $+\infty$.

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}-2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-e^{x}} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}$

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+4} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}-1} & {=} & {-1 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}$

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 4x-9} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}+7} & {=} & {7 } \end{array}\right\}{\red{\text{par quotient}}}$

$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x} -1} & {=} & {-1 } \end{array}\right\}{\red{\text{par produit}}}$

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} +3=-\infty$.
On pose $X=-x^{2} +3$.
Ainsi : $\lim\limits_{X\to -\infty } 2e^{X} =0$.
Par composition :

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x+2}{2x^{2} -3} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(2-\frac{3}{x^{2} } \right)} =\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } }{2-\frac{3}{x^{2} } } =0$.
On pose $X=\frac{x+2}{2x^{2} -3}$.
Ainsi : $\lim\limits_{X\to 0} e^{X} =1$.
Par composition :
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $y=1$

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x^{2} +x+1} =0$.
On pose $X=\frac{2}{x^{2} +x+1}$.
Ainsi : $\lim\limits_{X\to 0} e^{X} =1$.
Par composition :
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $y=1$ au voisinage de $+\infty$.