Le théorème des gendarmes - Exercice 3

6 min
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Déterminer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡x→+∞6+cos⁡(x)x\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{6+\cos \left(x\right)}{x}

Correction
Pour tout réel xx au voisinage de +∞+\infty, on a :
−1≤cos⁡(x)≤1-1\le \cos \left(x\right)\le 1 équivaut successivement à :
−1+6≤6+cos⁡(x)≤6+1-1+6\le 6+\cos \left(x\right)\le 6+1
5≤6+cos⁡(x)≤75\le 6+\cos \left(x\right)\le 7 , on va ensuite diviser par xx qui est strictement positif car nous sommes au voisinage de +∞+\infty
5x≤6+cos⁡(x)x≤7x\frac{5}{x} \le \frac{6+\cos \left(x\right)}{x} \le \frac{7}{x}
D’une part :\red{\text{D'une part :}} lim⁡x→+∞5x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{5}{x} =0
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} lim⁡x→+∞7x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{7}{x} =0
D'après le théorème des gendarmes : lim⁡x→+∞6+cos⁡(x)x=0\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{6+\cos \left(x\right)}{x}=0
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.

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