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Limites et continuité
Le théorème des gendarmes - Exercice 2
5 min
15
Question 1
Pour tout réel
x
x
x
, on définit la fonction
f
f
f
à l'aide de l'encadrement suivant :
2
x
2
+
3
≤
f
(
x
)
≤
1
x
2
+
3
\frac{2}{x^2+3} \le f\left(x\right) \le \frac{1}{x^2+3}
x
2
+
3
2
≤
f
(
x
)
≤
x
2
+
3
1
. Déterminer
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)
x
→
−
∞
lim
f
(
x
)
.
Correction
Si on rencontre une forme
Nombre
∞
\frac{\text{Nombre}}{\infty }
∞
Nombre
alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps :
\text{\blue{Dans un premier temps :}}
Dans un premier temps :
lim
x
→
−
∞
2
=
2
lim
x
→
−
∞
x
2
+
3
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^2+3} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
2
x
→
−
∞
lim
x
2
+
3
=
=
2
+
∞
}
par quotient :
\text{\red{par quotient :}}
par quotient :
lim
x
→
−
∞
2
x
2
+
3
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2}{x^2+3}=0
x
→
−
∞
lim
x
2
+
3
2
=
0
Dans un second temps :
\text{\blue{Dans un second temps :}}
Dans un second temps :
lim
x
→
−
∞
1
=
1
lim
x
→
−
∞
x
2
+
3
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 1 } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^2+3} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
1
x
→
−
∞
lim
x
2
+
3
=
=
1
+
∞
}
par quotient :
\text{\red{par quotient :}}
par quotient :
lim
x
→
−
∞
1
x
2
+
3
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{1}{x^2+3}=0
x
→
−
∞
lim
x
2
+
3
1
=
0
Nous savons que :
2
x
2
+
3
≤
f
(
x
)
≤
1
x
2
+
3
\frac{2}{x^2+3} \le f\left(x\right) \le \frac{1}{x^2+3}
x
2
+
3
2
≤
f
(
x
)
≤
x
2
+
3
1
D'après le théorème des gendarmes
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right) =0
x
→
−
∞
lim
f
(
x
)
=
0