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Limites et continuité
Le théorème des gendarmes - Exercice 1
5 min
15
Question 1
Pour tout réel
x
x
x
non nul, on définit la fonction
f
f
f
à l'aide de l'encadrement suivant :
3
x
+
6
≤
f
(
x
)
≤
4
x
+
6
\frac{3}{x} +6\le f\left(x\right) \le \frac{4}{x} +6
x
3
+
6
≤
f
(
x
)
≤
x
4
+
6
. Déterminer
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
.
Correction
Si on rencontre une forme
Nombre
∞
\frac{\text{Nombre}}{\infty }
∞
Nombre
alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps :
\text{\blue{Dans un premier temps :}}
Dans un premier temps :
lim
x
→
+
∞
3
=
3
lim
x
→
+
∞
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3 } & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
3
x
→
+
∞
lim
x
=
=
3
+
∞
}
par quotient :
\text{\red{par quotient :}}
par quotient :
lim
x
→
+
∞
3
x
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{x}=0
x
→
+
∞
lim
x
3
=
0
Ainsi :
lim
x
→
+
∞
3
x
+
6
=
6
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{x}+6=6
x
→
+
∞
lim
x
3
+
6
=
6
Dans un second temps :
\text{\blue{Dans un second temps :}}
Dans un second temps :
lim
x
→
+
∞
4
=
4
lim
x
→
+
∞
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4 } & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
4
x
→
+
∞
lim
x
=
=
4
+
∞
}
par quotient :
\text{\red{par quotient :}}
par quotient :
lim
x
→
+
∞
4
x
=
0
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4}{x}=0
x
→
+
∞
lim
x
4
=
0
Ainsi :
lim
x
→
+
∞
4
x
+
6
=
6
\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4}{x}+6=6
x
→
+
∞
lim
x
4
+
6
=
6
Nous savons que :
3
x
+
6
≤
f
(
x
)
≤
4
x
+
6
\frac{3}{x} +6\le f\left(x\right) \le \frac{4}{x} +6
x
3
+
6
≤
f
(
x
)
≤
x
4
+
6
D'après le théorème des gendarmes
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
6
\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right) =6
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
6