Limites et continuité

Exercices types : 11ère partie - Exercice 5

20 min
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Question 1
La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3x48x36x2+24xf\left(x\right)=3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x.

Déterminer la limite de la fonction ff en -\infty et en ++\infty .

Correction
D'une part : limx3x48x36x2+24x\lim _{x \rightarrow -\infty}{3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x} . Au voisinage de -\infty, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
limx3x48x36x2+24x=limx3x4=+\lim _{x \rightarrow -\infty}{3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x}=\lim _{x \rightarrow -\infty}{3x^{4}} = +\infty

D'autre part : limx+3x48x36x2+24x\lim _{x \rightarrow +\infty}{3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x} . Au voisinage de ++\infty, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
limx+3x48x36x2+24x=limx+3x4=+\lim _{x \rightarrow +\infty}{3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x}=\lim _{x \rightarrow +\infty}{3x^{4}} = +\infty

Question 2

Démontrer que pour tout réel xx, on a : f(x)=12(x2)(x21)f'\left(x\right)=12\left(x-2\right)\left(x^{2}-1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
Il vient alors que :
f(x)=12x324x212x+24f'\left(x\right)=12x^{3}-24x^{2}-12x+24

Nous allons maintenant développer l'expression 12(x2)(x21)12\left(x-2\right)\left(x^{2}-1\right).
12(x2)(x21)=12(x3x2x2+2)12\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=12\left(x^{3} -x-2x^{2} +2\right) équivaut successivement à :
12(x2)(x21)=12x312x24x2+2412\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=12x^{3} -12x-24x^{2} +24
12(x2)(x21)=12x324x212x+2412\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=12x^{3} -24x^{2} -12x+24
12(x2)(x21)=f(x)12\left(x-2\right)\left(x^{2} -1\right)=f'\left(x\right)

Question 3

Etudier le sens de variation de ff. Dresser son tableau de variation complet.

Correction
D'après la question 22, nous savons que : f(x)=12(x2)(x21)f'\left(x\right)=12\left(x-2\right)\left(x^{2}-1\right)
Or : x21=(x1)(x+1)x^{2}-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)
Ainsi :
f(x)=12(x2)(x1)(x+1)f'\left(x\right)=12\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right).
Nous allons donner ci-dessous le tableau de variation complet de ff ainsi que le détail des extrema.
  • f(1)=3×(1)48×(1)36×(1)2+24×(1)f\left(-1\right)=3\times\left(-1\right)^{4}-8\times\left(-1\right)^{3}-6\times\left(-1\right)^{2}+24\times\left(-1\right) ainsi :
    f(1)=19f\left(-1\right)=-19
  • f(1)=3×148×136×12+24×1f\left(1\right)=3\times1^{4}-8\times1^{3}-6\times1^{2}+24\times1 ainsi :
    f(1)=13f\left(1\right)=13
  • f(2)=3×248×236×22+24×2f\left(2\right)=3\times2^{4}-8\times2^{3}-6\times2^{2}+24\times2 ainsi :
    f(2)=8f\left(2\right)=8

  • Question 4

    Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux solutions α\alpha et β\beta . On suppose que β>α\beta>\alpha

    Correction
    Nous allons faire apparaitre les zéros recherché dans le tableau de variation. Il vient alors que :

    De plus :
    • Sur [1;+[\left[1;+\infty\right[ , la fonction ff est continue et admet 88 comme minimum.
      La fonction ff est strictement positive.
      Donc l'équation f(x)=0f\left(x\right) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
    • Sur ];1]\left]-\infty;-1\right] , la fonction ff est continue et strictement décroissante.
      De plus, limxf(x)=+\lim _{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = +\infty et f(1)=19f\left(-1\right)=-19
      Or 0[19;+[0 \in \left[-19;+\infty\right[ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha sur ];1]\left]-\infty;-1\right] tel que f(x)=0f\left(x\right) = 0
    • Sur [1;1]\left[-1;1\right] , la fonction ff est continue et strictement croissante.
      De plus, f(1)=19f\left(-1\right)=-19 et f(1)=13f\left(1\right)=13
      Or 0[19;13]0 \in \left[-19;13\right] , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution β\beta sur [1;1]\left[-1;1\right] tel que f(x)=0f\left(x\right) = 0
    Finalement l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux solutions α\alpha et β\beta.