Limites et continuité

Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

25 min
40
Question 1
Soit gg la fonction définie sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par g(x)=−2x3−2x2+10x+18g\left(x\right)=-2x^{3} -2x^{2}+10x+18.

Déterminer la limite de la fonction gg en −∞-\infty et en +∞+\infty .

Correction
D'une part : lim⁡x→−∞−2x3−2x2+10x+18\lim _{x \rightarrow -\infty}{-2x^{3} -2x^{2}+10x+18} . Au voisinage de −∞-\infty, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
lim⁡x→−∞−2x3−2x2+10x+18=lim⁡x→−∞−2x3=+∞\lim _{x \rightarrow -\infty}{-2x^{3} -2x^{2}+10x+18}=\lim _{x \rightarrow -\infty}{-2x^{3}} = +\infty

D'autre part : lim⁡x→+∞−2x3−2x2+10x+18\lim _{x \rightarrow +\infty}{-2x^{3} -2x^{2}+10x+18} . Au voisinage de +∞+\infty, un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré. Autrement dit, on n'étudie que la limite du monôme de plus haut degré.
Donc :
lim⁡x→+∞−2x3−2x2+10x+18=lim⁡x→+∞−2x3=−∞\lim _{x \rightarrow +\infty}{-2x^{3} -2x^{2}+10x+18}=\lim _{x \rightarrow +\infty}{-2x^{3}} = -\infty
Question 2

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
gg est dérivable sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
Il en résulte donc que :
g′(x)=−6x2−4x2+10g'\left(x\right)=-6x^{2} -4x^{2}+10 , c'est une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : Δ=256\Delta = 256 , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : x1=−53x_{1} = -\frac{5}{3} et x2=1x_{2} = 1.
Comme a=−6<0a=-6<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que g′g' est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de g′g' ainsi que le tableau de variation de gg. On indiquera les valeurs des extrema.
g(−53)=−2×(−53)3−2×(−53)2+10×(−53)+18g\left(-\frac{5}{3}\right)=-2\times\left(-\frac{5}{3}\right)^{3} -2\times\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}+10\times\left(-\frac{5}{3}\right)+18 ainsi
g(−53)=13627g\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{136}{27}

g(1)=−2×13−2×12+10×1+18g\left(1\right)=-2\times1^{3} -2\times1^{2}+10\times1+18 ainsi
g(1)=24g\left(1\right)=24
Question 3

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.
On notera α\alpha cette solution.

Correction
On reprend le tableau de variation fait à la question 22. On fera apparaître le zéro que l'on recherche.
De plus :
  • Sur ]−∞;1]\left]-\infty;1\right] , la fonction gg est continue et admet 13627\frac{136}{27} comme minimum.
    La fonction gg est strictement positive.
    Donc l'équation g(x)=0g(x)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
  • Sur [1;+∞[\left[1;+\infty\right[ , la fonction gg est continue et strictement décroissante.
    De plus, g(1)=24g\left(1\right)=24 et lim⁡x→+∞g(x)=−∞\lim _{x \rightarrow +\infty}{g(x)} = -\infty
    Or 0∈]−∞;24]0 \in \left]-\infty;24\right] , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans R\mathbb{R} tel que g(x)=0g(x) = 0
Question 4

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Correction
A la calculatrice, on vérifie que :
g(2,47)≈0,3597g(2,47)\approx0,3597 et g(2,48)≈−0,006g(2,48)\approx-0,006
Or 0∈[−0,006;0,3597]0 \in \left[-0,006;0,3597\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : 2,47≤α≤2,482,47\le\alpha\le2,48
Question 5

Déterminer le signe de la fonction gg sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[.

Correction
Sur ]−∞;1]\left]-\infty;1\right], la fonction gg est continue et admet 13627\frac{136}{27} comme minimum. La fonction gg est strictement positive.
Sur [1;+∞[\left[1;+\infty\right[, la fonction gg est continue et strictement décroissante et g(α)=0g(\alpha) = 0
Donc g(x)≥0g(x)\ge0 pour tout x∈]−∞;α]x\in\left]-\infty;\alpha\right] et g(x)≤0g(x)\le0 pour tout x∈[α;+∞[x\in\left[\alpha;+\infty\right[
On résume cela dans un tableau de signe :