Limites et continuité

Etudier la continuité d'une fonction en un point aa - Exercice 3

4 min
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Question 1
On considère la fonction ff définie pour tout réel xx par f(x)={e−x+3  si  x<0x+3  si  x≥0f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc} {e^{-x}+3} & {\;\text{si}\;x< 0} \\ {x+3} & {\;\text{si}\;x\ge0} \end{array}\right.

Démontrer que la fonction ff est continue sur ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ et sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .

Correction
  • Sur l'intervalle ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[, nous avons la fonction x↦e−x+3x \mapsto e^{-x}+3 qui est une fonction expoentielle qui est donc continue sur R\mathbb{R} et donc en particulier sur l'intervalle ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ .
  • Sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[, nous avons la fonction x↦x+3x \mapsto x+3 qui est une fonction affine qui est donc continue sur R\mathbb{R} et donc en particulier sur l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .
    • La fonction ff est donc continue sur ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[ et sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .
    Question 2

    La fonction ff est-elle continue en 00 ?

    Correction
      Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. Soit a{\color{blue}{a}} un réel appartenant à II .
  • ff est continue en a{\color{blue}{a}} si et seulement si lim⁡x→ax<af(x)=lim⁡x→ax>af(x)=f(a){\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{a}}} \\ {x<{\color{blue}{a}}} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{a}}} \\ {x>{\color{blue}{a}}} \end{array}}} f\left(x\right)=f\left({\color{blue}{a}}\right)
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} lim⁡x→0x<0f(x)=lim⁡x→0x<0e−x+3=4{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} e^{-x}+3=4
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} f(0)=0+3=3f\left(0\right)=0+3=3
    • Il en résulte donc que :
    lim⁡x→0x<0f(x)≠f(0){\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 0} \\ {x<0} \end{array}}} f\left(x\right) \ne f\left(0\right)

    La fonction ff n’est alors pas continue en 0\red{\text{n'est alors pas continue en 0}} .