Limites et continuité

Etudier la continuité d'une fonction en un point aa - Exercice 1

4 min
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Question 1
On considère la fonction ff définie pour tout réel xx par f(x)={x+4  si  x<15x  si  x≥1f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc} {x+4} & {\;\text{si}\;x< 1} \\ {5x} & {\;\text{si}\;x\ge1} \end{array}\right.

Démontrer que la fonction ff est continue sur ]−∞;1[\left]-\infty;1\right[ et sur [1;+∞[\left[1;+\infty\right[ .

Correction
  • Sur l'intervalle ]−∞;1[\left]-\infty;1\right[, nous avons la fonction x↦x+4x \mapsto x+4 qui est une fonction affine qui est donc continue sur R\mathbb{R} et donc en particulier sur l'intervalle ]−∞;1[\left]-\infty;1\right[ .
  • Sur l'intervalle [1;+∞[\left[1;+\infty\right[, nous avons la fonction x↦5xx \mapsto 5x qui est une fonction linéaire qui est donc continue sur R\mathbb{R} et donc en particulier sur l'intervalle [1;+∞[\left[1;+\infty\right[ .
    • La fonction ff est donc continue sur ]−∞;1[\left]-\infty;1\right[ et sur [1;+∞[\left[1;+\infty\right[ .
    Question 2

    La fonction ff est-elle continue en 11 ?

    Correction
      Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. Soit a{\color{blue}{a}} un réel appartenant à II .
  • ff est continue en a{\color{blue}{a}} si et seulement si lim⁡x→ax<af(x)=lim⁡x→ax>af(x)=f(a){\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{a}}} \\ {x<{\color{blue}{a}}} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{a}}} \\ {x>{\color{blue}{a}}} \end{array}}} f\left(x\right)=f\left({\color{blue}{a}}\right)
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1x+4=5{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}}} x+4=5
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>15x=5{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} 5x=5
  • Enfin :\red{\text{Enfin :}} f(1)=5×1=5f\left(1\right)=5\times 1=5
    • Il en résulte donc que :
    lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x>1f(x)=f(1){\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x<1} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 1} \\ {x>1} \end{array}}} f\left(x\right)=f\left(1\right)

    La fonction ff est alors continue en 11 .