On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)={x2−2−2x+6six≤2six>2
1
Démontrer que la fonction f est continue sur ]−∞;2] et sur ]2;+∞[ .
Correction
Sur l'intervalle ]−∞;2], nous avons la fonction x↦x2−2 qui est une fonction polynôme du second degré qui est donc continue sur R et donc en particulier sur l'intervalle ]−∞;2] .
Sur l'intervalle ]2;+∞[, nous avons la fonction x↦−2x+6 qui est une fonction affine qui est donc continue sur R et donc en particulier sur l'intervalle ]2;+∞[ .
La fonction f est donc continue sur ]−∞;2] et sur ]2;+∞[ .
2
La fonction f est-elle continue en 2 ?
Correction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a un réel appartenant à I .
f est continue en a si et seulement si x→ax<alimf(x)=x→ax>alimf(x)=f(a)
D’une part :x→2x<2limf(x)=x→2x<2limx2−2=2
D’autre part :x→2x>2limf(x)=x→2x>2lim−2x+6=2
Enfin :f(2)=−2×2+6=2
Il en résulte donc que :
x→2x<2limf(x)=x→2x>2limf(x)=f(2)
La fonction f est alors continue en 2 .
Exercice 3
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)={e−x+3x+3six<0six≥0
1
Démontrer que la fonction f est continue sur ]−∞;0[ et sur [0;+∞[ .
Correction
Sur l'intervalle ]−∞;0[, nous avons la fonction x↦e−x+3 qui est une fonction expoentielle qui est donc continue sur R et donc en particulier sur l'intervalle ]−∞;0[ .
Sur l'intervalle [0;+∞[, nous avons la fonction x↦x+3 qui est une fonction affine qui est donc continue sur R et donc en particulier sur l'intervalle [0;+∞[ .
La fonction f est donc continue sur ]−∞;0[ et sur [0;+∞[ .
2
La fonction f est-elle continue en 0 ?
Correction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a un réel appartenant à I .
f est continue en a si et seulement si x→ax<alimf(x)=x→ax>alimf(x)=f(a)
D’une part :x→0x<0limf(x)=x→0x<0lime−x+3=4
D’autre part :f(0)=0+3=3
Il en résulte donc que :
x→0x<0limf(x)=f(0)
La fonction fn’est alors pas continue en 0 .
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