Comment reconnaître qu'une fonction admet une asymptote horizontale ou une asymptote verticale - Exercice 2
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Calculer les limites suivantes et que peut-on en déduire graphiquement ?
Question 1
x→4+limx−4−3 qui s'écrit également x→4x>4limx−4−3
Correction
Si x→nombrelimf(x)=+∞ alors la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=nombre
Si x→nombrelimf(x)=−∞ alors la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=nombre
x→4x>4lim−3x→4x>4limx−4==−30+⎭⎬⎫par quotient :x→4x>4limx−4−3=−∞ Interprétation graphique : la courbe Cf admet une asymptote verticale d'équation x=4.
0Nombre=∞, Ici on a le numérateur vaut −3 et il est négatif et le dénominateur x−4 s'approche de 0 de manière positive, lorsque x tend vers 4 avec x strictement supérieur à 4. Le numérateur est négatif et le dénominateur est positif donc le quotient tend vers −∞.
On peut expliquer le fait que x→4+limx−4=0+ de la manière suivante : Nous avons dressé le signe de la fonction x↦x−4 ci dessous :
x→4+ signifie que x tend vers 4 mais avec x>4, donc lorsque x>4 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie positive. C'est pour cela que x→4+limx−4=0+.
Question 2
x→2−lim−4x+8x+1 qui s'écrit également x→2x<2lim−4x+8x+1
Correction
Si x→nombrelimf(x)=+∞ alors la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=nombre
Si x→nombrelimf(x)=−∞ alors la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=nombre
x→2−limx+1x→2−lim−4x+8==30+} par quotient x→2−lim−4x+8x+1=+∞ . Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=2.
0Nombre=∞, Ici on a le numérateur x+1 vaut 3 donc positif et le dénominateur −4x+8 s'approche de 0 de manière positive, lorsque x tend vers 2 avec x strictement inférieur à 2. Le numérateur est positif tout comme le dénominateur donc le quotient tend vers +∞.
On peut expliquer le fait que x→2−lim−4x+8=0+ de la manière suivante : Nous avons dressé le signe de la fonction x↦−4x+8 ci dessous :
x→2− signifie que x tend vers 2 mais avec x<2, donc lorsque x<2 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie positive. C'est pour cela que x→2−lim−4x+8=0+.
Question 3
x→1−lim−x+13x−2 qui s'écrit également x→1x<1lim−x+13x−2
Correction
Si x→nombrelimf(x)=+∞ alors la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=nombre
Si x→nombrelimf(x)=−∞ alors la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=nombre
x→1−lim3x−2x→1−lim−x+1==10+} par quotient x→1−lim−x+13x−2=+∞ . Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=1.
0Nombre=∞, Ici on a le numérateur 3x−2 vaut 1 donc positif et le dénominateur −x+1 s'approche de 0 de manière positive, lorsque x tend vers 1 avec x strictement inférieur à 1. Le numérateur est positif tout comme le dénominateur donc le quotient tend vers +∞.
On peut expliquer le fait que x→1−lim−x+1=0+ de la manière suivante : Nous avons dressé le signe de la fonction x↦−x+1 ci dessous :
x→1− signifie que x tend vers 1 mais avec x<1, donc lorsque x<1 on voit bien à l'aide du tableau de signe que nous sommes dans la partie positive. C'est pour cela que x→1−lim−x+1=0+.
Question 4
x→2−limx2−3x+2x−5 qui s'écrit également x→2x<2limx2−3x+2x−5
Correction
Dans un premier temps, nous allons étudier le signe du dénominateur x2−3x+2. On vérifie facilement que : Δ>0 ; x1=1 et x1=2. Le tableau de signe de x2−3x+2 est alors :
Il en résulte donc que : x→2−limx2−3x+2=0−
Si x→nombrelimf(x)=+∞ alors la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=nombre
Si x→nombrelimf(x)=−∞ alors la fonction f admet une asymptote verticale d'équation x=nombre
x→2−limx−5x→2−limx2−3x+2==−30−} par quotient x→2−limx2−3x+2x−5=+∞ . Interprétation graphique : la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=2.
0Nombre=∞, Ici on a le numérateur x−5 vaut −3 donc négatif et le dénominateur x2−3x+2 s'approche de 0 de manière négative, lorsque x tend vers 2 avec x strictement inférieur à 2. Le numérateur est négatif tout comme le dénominateur donc le quotient tend vers +∞.