Comment reconnaître qu'une fonction admet une asymptote horizontale ou une asymptote verticale - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 7} & {=} & {7} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }x+2 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient:}}$$
La courbe représentative de la fonction $$f$$ notée $$\mathscr{C_f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.

$$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6}{5x+4} =0$$ ainsi $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{6}{5x+4}+2 =2$$
La courbe représentative de la fonction $$f$$ notée $$\mathscr{C_f}$$ admet au voisinage de $$-\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=2$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 12x-5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }3x-2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$
Il vient :$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{12x-5}{3x-2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x\left(\frac{12x-5}{x} \right)}{x\left(\frac{3x-2}{x} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{12x-5}{3x-2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x\left(\frac{12x}{x} -\frac{5}{x} \right)}{x\left(\frac{3x}{x} -\frac{2}{x} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{12x-5}{3x-2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x\left(12-\frac{5}{x} \right)}{x\left(3-\frac{2}{x} \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{12x-5}{3x-2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{12-\frac{5}{x} }{3-\frac{2}{x} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 12-\frac{5}{x}} & {=} & {12} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3-\frac{2}{x} } & {=} & {3} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{12-\frac{5}{x} }{3-\frac{2}{x} }=4$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
La courbe représentative de la fonction $$f$$ notée $$\mathscr{C_f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=4$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x-3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +4x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$
Il vient :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x-3}{x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{4x-3}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} +4x}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4x-3}{x^{2} +4x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x\left(\frac{4x}{x} -\frac{3}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{4x}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4x-3}{x^{2} +4x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x\left(4-\frac{3}{x} \right)}{x^{2} \left(1+\frac{4}{x^{2} } \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4x-3}{x^{2} +4x} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4-\frac{3}{x} }{x\left(1+\frac{4}{x} \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4-\frac{3}{x} } & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(1+\frac{4}{x} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{4-\frac{3}{x} }{x\left(1+\frac{4}{x} \right)}=0$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
La courbe représentative de la fonction $$f$$ notée $$\mathscr{C_f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2}-4x+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -x+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{x^{2}}$$
Il vient :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} -x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} \left(\frac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} -x+1}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} -x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} \left(\frac{2x^{2} }{x^{2} } -\frac{4x}{x^{2} } +\frac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(\frac{x^{2} }{x^{2} } -\frac{x}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} -x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{x^{2} \left(2-\frac{4}{x} +\frac{3}{x^{2} } \right)}{x^{2} \left(1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } \right)}$$ . On simplifie le numérateur et le dénominateur par $$x^{2}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2x^{2} -4x+3}{x^{2} -x+1} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \frac{2-\frac{4}{x} +\frac{3}{x^{2} } }{1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } }$$

Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 2-\frac{4}{x} +\frac{3}{x^{2} }} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$ $$\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{2-\frac{4}{x} +\frac{3}{x^{2} }}{1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^{2} } }=2$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
La courbe représentative de la fonction $$f$$ notée $$\mathscr{C_f}$$ admet au voisinage de $$-\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=2$$.