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Limites et continuité
Calculs de limites quand
x
x
x
tend vers l'infini - Exercice 2
10 min
15
Calculer les limites suivantes :
Question 1
lim
x
→
−
∞
x
3
+
7
x
+
8
\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} +7x+8
x
→
−
∞
lim
x
3
+
7
x
+
8
Correction
lim
x
→
−
∞
x
3
=
−
∞
lim
x
→
−
∞
7
x
+
8
=
−
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } 7x+8} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}
x
→
−
∞
lim
x
3
x
→
−
∞
lim
7
x
+
8
=
=
−
∞
−
∞
}
par somme :
\red{\text{par somme :}}
par somme :
lim
x
→
−
∞
x
3
+
7
x
+
8
=
−
∞
\lim\limits_{x\to -\infty } x^{3} +7x+8=-\infty
x
→
−
∞
lim
x
3
+
7
x
+
8
=
−
∞
Question 2
lim
x
→
+
∞
(
2
−
x
2
)
(
5
x
+
3
)
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left(2-x^{2} \right)\left(5x+3\right)
x
→
+
∞
lim
(
2
−
x
2
)
(
5
x
+
3
)
Correction
lim
x
→
+
∞
2
−
x
2
=
−
∞
lim
x
→
+
∞
5
x
+
3
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2-x^{2}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
2
−
x
2
x
→
+
∞
lim
5
x
+
3
=
=
−
∞
+
∞
}
par produit :
\red{\text{par produit :}}
par produit :
lim
x
→
+
∞
(
2
−
x
2
)
(
5
x
+
3
)
=
−
∞
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left(2-x^{2} \right)\left(5x+3\right)=-\infty
x
→
+
∞
lim
(
2
−
x
2
)
(
5
x
+
3
)
=
−
∞
Question 3
lim
x
→
+
∞
(
8
−
x
)
(
6
−
x
)
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left(8-\sqrt{x} \right)\left(6-x\right)
x
→
+
∞
lim
(
8
−
x
)
(
6
−
x
)
Correction
lim
x
→
+
∞
8
−
x
=
−
∞
lim
x
→
+
∞
6
−
x
=
−
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 8-\sqrt{x}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 6-x} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
8
−
x
x
→
+
∞
lim
6
−
x
=
=
−
∞
−
∞
}
par produit :
\red{\text{par produit :}}
par produit :
lim
x
→
+
∞
(
8
−
x
)
(
6
−
x
)
=
+
∞
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left(8-\sqrt{x} \right)\left(6-x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
(
8
−
x
)
(
6
−
x
)
=
+
∞
Question 4
lim
x
→
+
∞
4
−
3
x
5
−
2
x
2
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4-\frac{3}{x} }{5-\frac{2}{x^{2} } }
x
→
+
∞
lim
5
−
x
2
2
4
−
x
3
Correction
lim
x
→
+
∞
4
−
3
x
=
4
lim
x
→
+
∞
5
−
2
x
2
=
5
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4-\frac{3}{x}} & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5-\frac{2}{x^{2} }} & {=} & {5 } \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
4
−
x
3
x
→
+
∞
lim
5
−
x
2
2
=
=
4
5
}
par quotient :
\red{\text{par quotient :}}
par quotient :
lim
x
→
+
∞
4
−
3
x
5
−
2
x
2
=
4
5
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{4-\frac{3}{x} }{5-\frac{2}{x^{2} } } =\frac{4}{5}
x
→
+
∞
lim
5
−
x
2
2
4
−
x
3
=
5
4
Question 5
lim
x
→
+
∞
3
x
x
−
5
x
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3x\sqrt{x} -\frac{5}{x}
x
→
+
∞
lim
3
x
x
−
x
5
Correction
Dans un premier temps, calculons
lim
x
→
+
∞
3
x
x
\lim\limits_{x\to +\infty } 3x\sqrt{x}
x
→
+
∞
lim
3
x
x
lim
x
→
+
∞
3
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 3x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
3
x
x
→
+
∞
lim
x
=
=
+
∞
+
∞
}
par produit :
\red{\text{par produit :}}
par produit :
lim
x
→
+
∞
3
x
x
=
+
∞
\lim\limits_{x\to +\infty } 3x\sqrt{x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
3
x
x
=
+
∞
Ainsi :
lim
x
→
+
∞
3
x
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
−
5
x
=
0
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }3x\sqrt{x}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{5}{x} } & {=} & {0} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
3
x
x
x
→
+
∞
lim
−
x
5
=
=
+
∞
0
}
par somme :
\red{\text{par somme :}}
par somme :
lim
x
→
+
∞
3
x
x
−
5
x
=
+
∞
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 3x\sqrt{x} -\frac{5}{x} =+\infty
x
→
+
∞
lim
3
x
x
−
x
5
=
+
∞