Limites et continuité

Calculs de limites quand xx tend vers l'infini - Exercice 1

15 min
20
Calculer les limites suivantes :
Question 1

limx+2x+3\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3

Correction
limx+2x=+\lim\limits_{x\to +\infty } 2x=+\infty et limx+3=3\lim\limits_{x\to +\infty } 3=3 donc :
limx+2x+3=+\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3=+\infty
Question 2

limx2x+3\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3

Correction
limx2x=\lim\limits_{x\to -\infty } 2x=-\infty et limx3=3\lim\limits_{x\to -\infty } 3=3 donc :
limx2x+3=\lim\limits_{x\to -\infty } 2x+3=-\infty
Question 3

limxx22x+3\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -2x+3

Correction
limxx2=+limx2x+3=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
limxx22x+3=+\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -2x+3=+\infty
Question 4

limx+3x24x+1\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} -4x+1

Correction
limx+3x2=limx+4x+1=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -4x+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
limx+3x24x+1=\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} -4x+1=-\infty
Question 5

limx+3x2+2x\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} +\frac{2}{x}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps, calculons limx+2x\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}
limx+2=2limx+x=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
limx+2x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} =0

Ainsi :
limx+3x2=limx+2x=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x} } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
limx+3x2+2x=\lim\limits_{x\to +\infty } -3x^{2} +\frac{2}{x} =-\infty
Question 6

limx+4x3+2x+3\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} +2x+3

Correction
limx+4x3=+limx+2x+3=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
limx+4x3+2x+3=+\lim\limits_{x\to +\infty } 4x^{3} +2x+3=+\infty
Question 7

limx2x35x4x\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} -5x-\frac{4}{x}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps, calculons limx4x\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-4}{x}
limx4=4limxx=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -4} & {=} & {-4 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x } & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
limx4x=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{-4}{x} =0

Ainsi :
limx2x3=+limx5x4x=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }-5x-\frac{4}{x} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
limx2x35x4x=+\lim\limits_{x\to -\infty } -2x^{3} -5x-\frac{4}{x} =+\infty
Question 8

limxx+3x+4\lim\limits_{x\to -\infty } x+\frac{3}{x+4}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Dans un premier temps, calculons limx3x+4\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x+4}
limx3=3limxx+4=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } 3} & {=} & {3 } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } x+4 } & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
limx3x+4=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x+4} =0

Ainsi :
limxx=limx3x+4=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{3}{x+4} } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
limxx+3x+4=\lim\limits_{x\to -\infty } x+\frac{3}{x+4} =-\infty
Question 9

limx+(2x+1)(x25)\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-2x+1\right)\left(x^{2} -5\right)

Correction
limx+2x+1=limx+x25=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit :\red{\text{par produit :}}
limx+(2x+1)(x25)=\lim\limits_{x\to +\infty } \left(-2x+1\right)\left(x^{2} -5\right)=-\infty
Question 10

limx+2x+46x2\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+4-\frac{6}{x-2}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
limx+2x+4=limx+6x2=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+4} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -\frac{6}{x-2} } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
limx+2x+46x2=\lim\limits_{x\to +\infty } -2x+4-\frac{6}{x-2} =-\infty