Résoudre les inéquations - Exercice 3

9 min
25
Soit nn un entier naturel.
Résoudre les inéquations suivantes :
Question 1

8n≥52008^{n} \ge 5200 .

Correction
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
8n≥52008^{n} \ge 5200 équivaut successivement à :
ln⁡(8n)≥ln⁡(5200) \ln \left(8^{n} \right)\ge \ln \left(5200\right)
nln⁡(8)≥ln⁡(5200). n\ln \left(8\right)\ge \ln \left(5200\right).
Or ln⁡(8)>0\ln \left(8\right)>0.
D'où n≥ln⁡(5200)ln⁡(8)n\ge \frac{\ln \left(5200\right)}{\ln \left(8\right)} .
On cherche la valeur de ln⁡(5200)ln⁡(8)\frac{\ln \left(5200\right)}{\ln \left(8\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥5n\ge 5
(à la calculatrice on obtient ln⁡(5200)ln⁡(8)≈4,11\frac{\ln \left(5200\right)}{\ln \left(8\right)} \approx 4,11 et on arrondi à l'entier supérieur).
Question 2

(1,01)n≥1,3\left(1,01\right)^{n} \ge 1,3 .

Correction
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
(1,01)n≥1,3\left(1,01\right)^{n} \ge 1,3 équivaut successivement à :
ln⁡(1,01n)≥ln⁡(1,3) \ln \left(1,01^{n} \right)\ge \ln \left(1,3\right)
nln⁡(1,01)≥ln⁡(1,3). n\ln \left(1,01\right)\ge \ln \left(1,3\right).
Or ln⁡(1,01)>0\ln \left(1,01\right)>0.
D'où n≥ln⁡(1,3)ln⁡(1,01)n\ge \frac{\ln \left(1,3\right)}{\ln \left(1,01\right)} .
On cherche la valeur de ln⁡(1,3)ln⁡(1,01)\frac{\ln \left(1,3\right)}{\ln \left(1,01\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥27n\ge 27
(à la calculatrice on obtient ln⁡(1,3)ln⁡(1,01)≈26,36\frac{\ln \left(1,3\right)}{\ln \left(1,01\right)} \approx 26,36 et on arrondi à l'entier supérieur).
Question 3

(0,8)n≤0,05\left(0,8\right)^{n} \le 0,05 .

Correction
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
(0,8)n≤0,05\left(0,8\right)^{n} \le 0,05 équivaut successivement à :
ln⁡(0,8n)≤ln⁡(0,05) \ln \left(0,8^{n} \right)\le \ln \left(0,05\right)
nln⁡(0,8)≤ln⁡(0,05). n\ln \left(0,8\right)\le \ln \left(0,05\right).
Or ln⁡(0,8)<0\ln \left(0,8\right)<0.
D'où n≥ln⁡(0,05)ln⁡(0,8)n\ge \frac{\ln \left(0,05\right)}{\ln \left(0,8\right)} .
On cherche la valeur de ln⁡(0,05)ln⁡(0,8)\frac{\ln \left(0,05\right)}{\ln \left(0,8\right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥14n\ge 14
(à la calculatrice on obtient ln⁡(0,05)ln⁡(0,8)≈13,42\frac{\ln \left(0,05\right)}{\ln \left(0,8\right)} \approx 13,42 et on arrondi à l'entier supérieur).

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