Résoudre les inéquations - Exercice 2

$$\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x+10\right)$$ équivaut successivement à :
$$2x\le x+10$$
$$2x-x\le10$$
$$x\le 10$$
Le domaine de définition impose que $$x> 0$$ et l'inéquation est vraie si $$x\le 10$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(x+2\right)\ge \ln \left(3x-12\right)$$ équivaut successivement à :
$$x+2\ge 3x-12$$
$$x-3x\ge-12-2$$
$$-2x\ge -14$$
$$x\le7$$
Le domaine de définition impose que $$x> 4$$ et l'inéquation est vraie si $$x\le 7$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(4-x\right)>\ln \left(x-1\right)$$ équivaut successivement à :
$$4-x> x-1$$
$$-x-x>-1-4$$
$$-2x> -5$$
$$x<\frac{5}{2}$$
Le domaine de définition impose que $$1<x< 4$$ et l'inéquation est vraie si $$x<\frac{5}{2}$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(18-3x\right)>\ln \left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$18-3x> x$$
$$-3x-x>-18$$
$$-4x> -18$$
$$x<\frac{-18}{-4}$$
$$x<\frac{9}{2}$$
Le domaine de définition impose que $$0<x< 6$$ et l'inéquation est vraie si $$x<\frac{9}{2}$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(x-1\right)>2$$ équivaut successivement à
$$\ln \left(x-1\right)>\ln \left(e^{2}\right)$$
$$x-1{>e^{2}}$$
$$x>{e^{2}+1}$$
Le domaine de définition impose que $$x>1$$ et l'inéquation est vraie si $$x>{e^{2}+1}$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à droite de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :