Fonction logarithme népérien

Résoudre les inéquations - Exercice 2

15 min
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Résoudre les inéquations suivantes :
Question 1

ln(2x)ln(x+10)\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x+10\right)I=]0;+[I=\left]0;+\infty \right[

Correction
ln(2x)ln(x+10)\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x+10\right) équivaut successivement à :
2xx+102x\le x+10
2xx102x-x\le10
x10x\le 10
Le domaine de définition impose que x>0x> 0 et l'inéquation est vraie si x10x\le 10 .
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=]0;10]S=\left]0 ;10 \right]
Question 2

ln(x+2)ln(3x12)\ln \left(x+2\right)\ge \ln \left(3x-12\right)I=]4;+[I=\left]4;+\infty \right[

Correction
ln(x+2)ln(3x12)\ln \left(x+2\right)\ge \ln \left(3x-12\right) équivaut successivement à :
x+23x12x+2\ge 3x-12
x3x122x-3x\ge-12-2
2x14-2x\ge -14
x7x\le7
Le domaine de définition impose que x>4x> 4 et l'inéquation est vraie si x7x\le 7 .
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=]4;7]S=\left]4 ;7\right]
Question 3

ln(4x)>ln(x1)\ln \left(4-x\right)>\ln \left(x-1\right)I=]1;4[I=\left]1;4 \right[

Correction
ln(4x)>ln(x1)\ln \left(4-x\right)>\ln \left(x-1\right) équivaut successivement à :
4x>x14-x> x-1
xx>14-x-x>-1-4
2x>5-2x> -5
x<52x<\frac{5}{2}
Le domaine de définition impose que 1<x<41<x< 4 et l'inéquation est vraie si x<52x<\frac{5}{2} .
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=]1;52[S=\left]1 ;\frac{5}{2} \right[
Question 4

ln(183x)>ln(x)\ln \left(18-3x\right)>\ln \left(x\right)I=]0;6[I=\left]0;6\right[

Correction
ln(183x)>ln(x)\ln \left(18-3x\right)>\ln \left(x\right) équivaut successivement à :
183x>x18-3x> x
3xx>18-3x-x>-18
4x>18-4x> -18
x<184x<\frac{-18}{-4}
x<92x<\frac{9}{2}
Le domaine de définition impose que 0<x<60<x< 6 et l'inéquation est vraie si x<92x<\frac{9}{2} .
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=]0  ;92[S=\left]0\;;\frac{9}{2} \right[
Question 5

ln(x1)>2\ln \left(x-1\right)>2I=]1;+[I=\left]1;+\infty \right[

Correction
ln(x1)>2\ln \left(x-1\right)>2 équivaut successivement à
ln(x1)>ln(e2)\ln \left(x-1\right)>\ln \left(e^{2}\right)
x1>e2x-1{>e^{2}}
x>e2+1x>{e^{2}+1}
Le domaine de définition impose que x>1x>1 et l'inéquation est vraie si x>e2+1x>{e^{2}+1}.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à droite de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=]e2+1  ;  +[S=\left]e^{2}+1\;;\;+\infty \right[