Fonction logarithme népérien

Résoudre les inéquations - Exercice 1

1 min
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Question 1
Résoudre dans ]0;+[\left]0;+\infty\right[ les inéquations suivantes :

ln(x)>1\ln \left(x\right)>1

Correction
  • ln(A)>ln(B)A>B\ln \left(A\right)> \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A> B
  • ln(e)=1\ln \left(e\right)=1
ln(x)>1\ln \left(x\right)>1 équivaut successivement à
ln(x)>ln(e)\ln \left(x\right)>\ln \left(e\right)
x>ex>e
Le domaine de définition impose que x>0x>0 et l'inéquation est vraie si x>ex>e.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à droite de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=]e;+[S=\left]e;+\infty \right[
Question 2

ln(x)0\ln \left(x\right)\le 0

Correction
  • ln(A)>ln(B)A>B\ln \left(A\right)> \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A> B
  • ln(e)=1\ln \left(e\right)=1
ln(x)0\ln \left(x\right)\le0 équivaut successivement à
ln(x)ln(e0)\ln \left(x\right)\le\ln \left(e^0\right)
xe0x\le{e^0}
x1x\le{1}
Le domaine de définition impose que x>0x>0 et l'inéquation est vraie si x1x\le{1}.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=]0;1]S=\left]0;1 \right]
Question 3

ln(x)3\ln \left(x\right)\le 3

Correction
  • ln(A)ln(B)AB\ln \left(A\right)\le \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A \le B
  • ln(ea)=a\ln \left(e^a\right)=a

ln(x)3\ln \left(x\right)\le3 équivaut successivement à
ln(x)ln(e3)\ln \left(x\right)\le\ln \left(e^3\right)
xe3x\le{e^3}
Le domaine de définition impose que x>0x>0 et l'inéquation est vraie si xe3x\le{e^3}.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=]0;e3]S=\left]0;e^3 \right]
Question 4

ln(x)2\ln \left(x\right)\ge -2

Correction
  • ln(A)ln(B)AB\ln \left(A\right)\le \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A \le B
  • ln(ea)=a\ln \left(e^a\right)=a

ln(x)2\ln \left(x\right)\ge-2 équivaut successivement à
ln(x)ln(e2)\ln \left(x\right)\ge\ln \left(e^{-2}\right)
xe2x\ge{e^{-2}}
Le domaine de définition impose que x>0x>0 et l'inéquation est vraie si xe2x\ge{e^{-2}}.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à droite de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=[e2;+[S=\left[e^{-2};+\infty \right[
Question 5

2ln(x)+10<02\ln \left(x\right)+10< 0

Correction
  • ln(A)ln(B)AB\ln \left(A\right)\le \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A \le B
  • ln(ea)=a\ln \left(e^a\right)=a

2ln(x)+10<02\ln \left(x\right)+10< 0 équivaut successivement à
2ln(x)<102\ln(x)<-10
ln(x)<102\ln(x)<\frac{-10}{2}
ln(x)<5\ln(x)<-5
ln(x)<ln(e5)\ln \left(x\right)<\ln \left(e^{-5}\right)
x<e5x<{e^{-5}}
Le domaine de définition impose que x>0x>0 et l'inéquation est vraie si x<e5x<{e^{-5}}.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :
S=]0;e5[S=\left]0;e^{-5} \right[